{l}{5x-4y=16}{y=2x-10} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 16 } \\ { y = 2 x - 10 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=8$$

$$y=6$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2x мәнін қысқартыңыз.

$$y-2x=-10$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x-4y=16,-2x+y=-10$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x-4y=16$$

Теңдеудің екі жағына да 4y санын қосыңыз.

$$5x=4y+16$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y+16\right)$$

\frac{1}{5} санын 16+4y санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{4}{5}y+\frac{16}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{16+4y}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -2x+y=-10.

$$-2\left(\frac{4}{5}y+\frac{16}{5}\right)+y=-10$$

-2 санын \frac{16+4y}{5} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{8}{5}y-\frac{32}{5}+y=-10$$

-\frac{8y}{5} санын y санына қосу.

$$-\frac{3}{5}y-\frac{32}{5}=-10$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{32}{5} санын қосыңыз.

$$-\frac{3}{5}y=-\frac{18}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{3}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=6$$

x=\frac{4}{5}y+\frac{16}{5} теңдеуінде 6 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{4}{5}\times 6+\frac{16}{5}$$

\frac{4}{5} санын 6 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{24+16}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{16}{5} бөлшегіне \frac{24}{5} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=8$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=8,y=6$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2x мәнін қысқартыңыз.

$$y-2x=-10$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x-4y=16,-2x+y=-10$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\-10\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&-4\\-2&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-10\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-10\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-4\left(-2\right)\right)}&-\frac{-4}{5-\left(-4\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5-\left(-4\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5-\left(-4\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-10\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{4}{3}\\-\frac{2}{3}&-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-10\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 16-\frac{4}{3}\left(-10\right)\\-\frac{2}{3}\times 16-\frac{5}{3}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=8,y=6$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2x мәнін қысқартыңыз.

$$y-2x=-10$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x-4y=16,-2x+y=-10$$

5x және -2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$-2\times 5x-2\left(-4\right)y=-2\times 16,5\left(-2\right)x+5y=5\left(-10\right)$$

Қысқартыңыз.

$$-10x+8y=-32,-10x+5y=-50$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -10x+5y=-50 мәнін -10x+8y=-32 мәнінен алып тастаңыз.

$$-10x+10x+8y-5y=-32+50$$

-10x санын 10x санына қосу. -10x және 10x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$8y-5y=-32+50$$

8y санын -5y санына қосу.

$$3y=-32+50$$

-32 санын 50 санына қосу.

$$3y=18$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$y=6$$

-2x+y=-10 теңдеуінде 6 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-2x+6=-10$$

Теңдеудің екі жағынан 6 санын алып тастаңыз.

$$-2x=-16$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$x=8$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=8,y=6$$