{l}{5x-3y-4=34}{5y-3x-18=34} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y - 4 = 34 } \\ { 5 y - 3 x - 18 = 34 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{173}{8} = 21\frac{5}{8} = 21.625$$

$$y = \frac{187}{8} = 23\frac{3}{8} = 23.375$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x-3y-4=34$$

Теңдеудің екі жағына да 4 санын қосыңыз.

$$5x-3y=38$$

Теңдеудің екі жағына да 3y санын қосыңыз.

$$5x=3y+38$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+38\right)$$

\frac{1}{5} санын 3y+38 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{3y+38}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -3x+5y-18=34.

$$-3\left(\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}\right)+5y-18=34$$

-3 санын \frac{3y+38}{5} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{9}{5}y-\frac{114}{5}+5y-18=34$$

-\frac{9y}{5} санын 5y санына қосу.

$$\frac{16}{5}y-\frac{114}{5}-18=34$$

-\frac{114}{5} санын -18 санына қосу.

$$\frac{16}{5}y-\frac{204}{5}=34$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{204}{5} санын қосыңыз.

$$\frac{16}{5}y=\frac{374}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{16}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{187}{8}$$

x=\frac{3}{5}y+\frac{38}{5} теңдеуінде \frac{187}{8} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{3}{5}\times \frac{187}{8}+\frac{38}{5}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{187}{8} санын \frac{3}{5} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{561}{40}+\frac{38}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{38}{5} бөлшегіне \frac{561}{40} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{173}{8}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

2\times 2 матрицасы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}&-\frac{-3}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{3}{16}\\\frac{3}{16}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 38+\frac{3}{16}\times 52\\\frac{3}{16}\times 38+\frac{5}{16}\times 52\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{173}{8}\\\frac{187}{8}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

5x және -3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$-3\times 5x-3\left(-3\right)y-3\left(-4\right)=-3\times 34,5\left(-3\right)x+5\times 5y+5\left(-18\right)=5\times 34$$

Қысқартыңыз.

$$-15x+9y+12=-102,-15x+25y-90=170$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -15x+25y-90=170 мәнін -15x+9y+12=-102 мәнінен алып тастаңыз.

$$-15x+15x+9y-25y+12+90=-102-170$$

-15x санын 15x санына қосу. -15x және 15x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$9y-25y+12+90=-102-170$$

9y санын -25y санына қосу.

$$-16y+12+90=-102-170$$

12 санын 90 санына қосу.

$$-16y+102=-102-170$$

-102 санын -170 санына қосу.

$$-16y+102=-272$$

Теңдеудің екі жағынан 102 санын алып тастаңыз.

$$-16y=-374$$

Екі жағын да -16 санына бөліңіз.

$$y=\frac{187}{8}$$

-3x+5y-18=34 теңдеуінде \frac{187}{8} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-3x+5\times \frac{187}{8}-18=34$$

5 санын \frac{187}{8} санына көбейтіңіз.

$$-3x+\frac{935}{8}-18=34$$

\frac{935}{8} санын -18 санына қосу.

$$-3x+\frac{791}{8}=34$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{791}{8} санын алып тастаңыз.

$$-3x=-\frac{519}{8}$$

Екі жағын да -3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{173}{8}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}$$