{l}{5x-3y-2=0}{4x+7y+3=0} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y - 2 = 0 } \\ { 4 x + 7 y + 3 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{5}{47}\approx 0.106382979$$

$$y=-\frac{23}{47}\approx -0.489361702$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x-3y-2=0,4x+7y+3=0$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x-3y-2=0$$

Теңдеудің екі жағына да 2 санын қосыңыз.

$$5x-3y=2$$

Теңдеудің екі жағына да 3y санын қосыңыз.

$$5x=3y+2$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+2\right)$$

\frac{1}{5} санын 3y+2 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{3y+2}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 4x+7y+3=0.

$$4\left(\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}\right)+7y+3=0$$

4 санын \frac{3y+2}{5} санына көбейтіңіз.

$$\frac{12}{5}y+\frac{8}{5}+7y+3=0$$

\frac{12y}{5} санын 7y санына қосу.

$$\frac{47}{5}y+\frac{8}{5}+3=0$$

\frac{8}{5} санын 3 санына қосу.

$$\frac{47}{5}y+\frac{23}{5}=0$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{23}{5} санын алып тастаңыз.

$$\frac{47}{5}y=-\frac{23}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{47}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{23}{47}$$

x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5} теңдеуінде -\frac{23}{47} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{23}{47}\right)+\frac{2}{5}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{23}{47} санын \frac{3}{5} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{69}{235}+\frac{2}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{2}{5} бөлшегіне -\frac{69}{235} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{5}{47}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x-3y-2=0,4x+7y+3=0$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}&\frac{3}{47}\\-\frac{4}{47}&\frac{5}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}\times 2+\frac{3}{47}\left(-3\right)\\-\frac{4}{47}\times 2+\frac{5}{47}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{47}\\-\frac{23}{47}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x-3y-2=0,4x+7y+3=0$$

5x және 4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$4\times 5x+4\left(-3\right)y+4\left(-2\right)=0,5\times 4x+5\times 7y+5\times 3=0$$

Қысқартыңыз.

$$20x-12y-8=0,20x+35y+15=0$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 20x+35y+15=0 мәнін 20x-12y-8=0 мәнінен алып тастаңыз.

$$20x-20x-12y-35y-8-15=0$$

20x санын -20x санына қосу. 20x және -20x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-12y-35y-8-15=0$$

-12y санын -35y санына қосу.

$$-47y-8-15=0$$

-8 санын -15 санына қосу.

$$-47y-23=0$$

Теңдеудің екі жағына да 23 санын қосыңыз.

$$-47y=23$$

Екі жағын да -47 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{23}{47}$$

4x+7y+3=0 теңдеуінде -\frac{23}{47} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$4x+7\left(-\frac{23}{47}\right)+3=0$$

7 санын -\frac{23}{47} санына көбейтіңіз.

$$4x-\frac{161}{47}+3=0$$

-\frac{161}{47} санын 3 санына қосу.

$$4x-\frac{20}{47}=0$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{20}{47} санын қосыңыз.

$$4x=\frac{20}{47}$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{5}{47}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$