{l}{5x-3y=2}{6x+2y=-5} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 2 } \\ { 6 x + 2 y = - 5 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-\frac{11}{28}\approx -0.392857143$$

$$y = -\frac{37}{28} = -1\frac{9}{28} \approx -1.321428571$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x-3y=2,6x+2y=-5$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x-3y=2$$

Теңдеудің екі жағына да 3y санын қосыңыз.

$$5x=3y+2$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+2\right)$$

\frac{1}{5} санын 3y+2 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{3y+2}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 6x+2y=-5.

$$6\left(\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}\right)+2y=-5$$

6 санын \frac{3y+2}{5} санына көбейтіңіз.

$$\frac{18}{5}y+\frac{12}{5}+2y=-5$$

\frac{18y}{5} санын 2y санына қосу.

$$\frac{28}{5}y+\frac{12}{5}=-5$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{12}{5} санын алып тастаңыз.

$$\frac{28}{5}y=-\frac{37}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{28}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{37}{28}$$

x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5} теңдеуінде -\frac{37}{28} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{37}{28}\right)+\frac{2}{5}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{37}{28} санын \frac{3}{5} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{111}{140}+\frac{2}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{2}{5} бөлшегіне -\frac{111}{140} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{11}{28}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{11}{28},y=-\frac{37}{28}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x-3y=2,6x+2y=-5$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}&-\frac{-3}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}\\-\frac{6}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{28}\\-\frac{3}{14}&\frac{5}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 2+\frac{3}{28}\left(-5\right)\\-\frac{3}{14}\times 2+\frac{5}{28}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{28}\\-\frac{37}{28}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{11}{28},y=-\frac{37}{28}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x-3y=2,6x+2y=-5$$

5x және 6x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 6 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$6\times 5x+6\left(-3\right)y=6\times 2,5\times 6x+5\times 2y=5\left(-5\right)$$

Қысқартыңыз.

$$30x-18y=12,30x+10y=-25$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 30x+10y=-25 мәнін 30x-18y=12 мәнінен алып тастаңыз.

$$30x-30x-18y-10y=12+25$$

30x санын -30x санына қосу. 30x және -30x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-18y-10y=12+25$$

-18y санын -10y санына қосу.

$$-28y=12+25$$

12 санын 25 санына қосу.

$$-28y=37$$

Екі жағын да -28 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{37}{28}$$

6x+2y=-5 теңдеуінде -\frac{37}{28} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$6x+2\left(-\frac{37}{28}\right)=-5$$

2 санын -\frac{37}{28} санына көбейтіңіз.

$$6x-\frac{37}{14}=-5$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{37}{14} санын қосыңыз.

$$6x=-\frac{33}{14}$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{11}{28}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{11}{28},y=-\frac{37}{28}$$