{l}{5x-3y=1800}{6x-4y=1600} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 1800 } \\ { 6 x - 4 y = 1600 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=1200$$

$$y=1400$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x-3y=1800,6x-4y=1600$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x-3y=1800$$

Теңдеудің екі жағына да 3y санын қосыңыз.

$$5x=3y+1800$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+1800\right)$$

\frac{1}{5} санын 1800+3y санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{3}{5}y+360$$

Басқа теңдеуде \frac{3y}{5}+360 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 6x-4y=1600.

$$6\left(\frac{3}{5}y+360\right)-4y=1600$$

6 санын \frac{3y}{5}+360 санына көбейтіңіз.

$$\frac{18}{5}y+2160-4y=1600$$

\frac{18y}{5} санын -4y санына қосу.

$$-\frac{2}{5}y+2160=1600$$

Теңдеудің екі жағынан 2160 санын алып тастаңыз.

$$-\frac{2}{5}y=-560$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{2}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=1400$$

x=\frac{3}{5}y+360 теңдеуінде 1400 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{3}{5}\times 1400+360$$

\frac{3}{5} санын 1400 санына көбейтіңіз.

$$x=840+360$$

360 санын 840 санына қосу.

$$x=1200$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1200,y=1400$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x-3y=1800,6x-4y=1600$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}&-\frac{-3}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}\\-\frac{6}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}&\frac{5}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{3}{2}\\3&-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 1800-\frac{3}{2}\times 1600\\3\times 1800-\frac{5}{2}\times 1600\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1200\\1400\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=1200,y=1400$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x-3y=1800,6x-4y=1600$$

5x және 6x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 6 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$6\times 5x+6\left(-3\right)y=6\times 1800,5\times 6x+5\left(-4\right)y=5\times 1600$$

Қысқартыңыз.

$$30x-18y=10800,30x-20y=8000$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 30x-20y=8000 мәнін 30x-18y=10800 мәнінен алып тастаңыз.

$$30x-30x-18y+20y=10800-8000$$

30x санын -30x санына қосу. 30x және -30x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-18y+20y=10800-8000$$

-18y санын 20y санына қосу.

$$2y=10800-8000$$

10800 санын -8000 санына қосу.

$$2y=2800$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$y=1400$$

6x-4y=1600 теңдеуінде 1400 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$6x-4\times 1400=1600$$

-4 санын 1400 санына көбейтіңіз.

$$6x-5600=1600$$

Теңдеудің екі жағына да 5600 санын қосыңыз.

$$6x=7200$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$x=1200$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1200,y=1400$$