{l}{5x-2y=5}{10x-3y=35} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 5 } \\ { 10 x - 3 y = 35 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=11$$

$$y=25$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x-2y=5,10x-3y=35$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x-2y=5$$

Теңдеудің екі жағына да 2y санын қосыңыз.

$$5x=2y+5$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+5\right)$$

\frac{1}{5} санын 2y+5 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{2}{5}y+1$$

Басқа теңдеуде \frac{2y}{5}+1 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 10x-3y=35.

$$10\left(\frac{2}{5}y+1\right)-3y=35$$

10 санын \frac{2y}{5}+1 санына көбейтіңіз.

$$4y+10-3y=35$$

4y санын -3y санына қосу.

$$y+10=35$$

Теңдеудің екі жағынан 10 санын алып тастаңыз.

$$y=25$$

x=\frac{2}{5}y+1 теңдеуінде 25 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{2}{5}\times 25+1$$

\frac{2}{5} санын 25 санына көбейтіңіз.

$$x=10+1$$

1 санын 10 санына қосу.

$$x=11$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=11,y=25$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x-2y=5,10x-3y=35$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\10&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\35\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&-2\\10&-3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\10&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\35\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\35\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\35\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-\left(-2\times 10\right)}&-\frac{-2}{5\left(-3\right)-\left(-2\times 10\right)}\\-\frac{10}{5\left(-3\right)-\left(-2\times 10\right)}&\frac{5}{5\left(-3\right)-\left(-2\times 10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\35\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\35\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\times 5+\frac{2}{5}\times 35\\-2\times 5+35\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\25\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=11,y=25$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x-2y=5,10x-3y=35$$

5x және 10x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 10 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$10\times 5x+10\left(-2\right)y=10\times 5,5\times 10x+5\left(-3\right)y=5\times 35$$

Қысқартыңыз.

$$50x-20y=50,50x-15y=175$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 50x-15y=175 мәнін 50x-20y=50 мәнінен алып тастаңыз.

$$50x-50x-20y+15y=50-175$$

50x санын -50x санына қосу. 50x және -50x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-20y+15y=50-175$$

-20y санын 15y санына қосу.

$$-5y=50-175$$

50 санын -175 санына қосу.

$$-5y=-125$$

Екі жағын да -5 санына бөліңіз.

$$y=25$$

10x-3y=35 теңдеуінде 25 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$10x-3\times 25=35$$

-3 санын 25 санына көбейтіңіз.

$$10x-75=35$$

Теңдеудің екі жағына да 75 санын қосыңыз.

$$10x=110$$

Екі жағын да 10 санына бөліңіз.

$$x=11$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=11,y=25$$