{l}{5x=4y-2}{5y+1=x} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 4 y - 2 } \\ { 5 y + 1 = x } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 4y мәнін қысқартыңыз.

$$5x-4y=-2$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да x мәнін қысқартыңыз.

$$5y+1-x=0$$

Екі жағынан да 1 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$5y-x=-1$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x-4y=-2,-x+5y=-1$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x-4y=-2$$

Теңдеудің екі жағына да 4y санын қосыңыз.

$$5x=4y-2$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-2\right)$$

\frac{1}{5} санын 4y-2 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{2}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{4y-2}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -x+5y=-1.

$$-\left(\frac{4}{5}y-\frac{2}{5}\right)+5y=-1$$

-1 санын \frac{4y-2}{5} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{4}{5}y+\frac{2}{5}+5y=-1$$

-\frac{4y}{5} санын 5y санына қосу.

$$\frac{21}{5}y+\frac{2}{5}=-1$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{2}{5} санын алып тастаңыз.

$$\frac{21}{5}y=-\frac{7}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{21}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{1}{3}$$

x=\frac{4}{5}y-\frac{2}{5} теңдеуінде -\frac{1}{3} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{4}{5}\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{2}{5}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{1}{3} санын \frac{4}{5} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{4}{15}-\frac{2}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{2}{5} бөлшегіне -\frac{4}{15} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 4y мәнін қысқартыңыз.

$$5x-4y=-2$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да x мәнін қысқартыңыз.

$$5y+1-x=0$$

Екі жағынан да 1 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$5y-x=-1$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x-4y=-2,-x+5y=-1$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-4\left(-1\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 5-\left(-4\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{5\times 5-\left(-4\left(-1\right)\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-4\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&\frac{4}{21}\\\frac{1}{21}&\frac{5}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\left(-2\right)+\frac{4}{21}\left(-1\right)\\\frac{1}{21}\left(-2\right)+\frac{5}{21}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 4y мәнін қысқартыңыз.

$$5x-4y=-2$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да x мәнін қысқартыңыз.

$$5y+1-x=0$$

Екі жағынан да 1 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$5y-x=-1$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x-4y=-2,-x+5y=-1$$

5x және -x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$-5x-\left(-4y\right)=-\left(-2\right),5\left(-1\right)x+5\times 5y=5\left(-1\right)$$

Қысқартыңыз.

$$-5x+4y=2,-5x+25y=-5$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -5x+25y=-5 мәнін -5x+4y=2 мәнінен алып тастаңыз.

$$-5x+5x+4y-25y=2+5$$

-5x санын 5x санына қосу. -5x және 5x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$4y-25y=2+5$$

4y санын -25y санына қосу.

$$-21y=2+5$$

2 санын 5 санына қосу.

$$-21y=7$$

Екі жағын да -21 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{1}{3}$$

-x+5y=-1 теңдеуінде -\frac{1}{3} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-x+5\left(-\frac{1}{3}\right)=-1$$

5 санын -\frac{1}{3} санына көбейтіңіз.

$$-x-\frac{5}{3}=-1$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{5}{3} санын қосыңыз.

$$-x=\frac{2}{3}$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$