{l}{5x=2y+16}{7x=32-2y} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 2 y + 16 } \\ { 7 x = 32 - 2 y } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=4$$

$$y=2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2y мәнін қысқартыңыз.

$$5x-2y=16$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 2y қосу.

$$7x+2y=32$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x-2y=16$$

Теңдеудің екі жағына да 2y санын қосыңыз.

$$5x=2y+16$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+16\right)$$

\frac{1}{5} санын 16+2y санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{16+2y}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 7x+2y=32.

$$7\left(\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}\right)+2y=32$$

7 санын \frac{16+2y}{5} санына көбейтіңіз.

$$\frac{14}{5}y+\frac{112}{5}+2y=32$$

\frac{14y}{5} санын 2y санына қосу.

$$\frac{24}{5}y+\frac{112}{5}=32$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{112}{5} санын алып тастаңыз.

$$\frac{24}{5}y=\frac{48}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{24}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=2$$

x=\frac{2}{5}y+\frac{16}{5} теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{2}{5}\times 2+\frac{16}{5}$$

\frac{2}{5} санын 2 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{4+16}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{16}{5} бөлшегіне \frac{4}{5} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=4,y=2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2y мәнін қысқартыңыз.

$$5x-2y=16$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 2y қосу.

$$7x+2y=32$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}&-\frac{-2}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}\\-\frac{7}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\-\frac{7}{24}&\frac{5}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{12}\times 32\\-\frac{7}{24}\times 16+\frac{5}{24}\times 32\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=4,y=2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2y мәнін қысқартыңыз.

$$5x-2y=16$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 2y қосу.

$$7x+2y=32$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

5x және 7x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 7 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$7\times 5x+7\left(-2\right)y=7\times 16,5\times 7x+5\times 2y=5\times 32$$

Қысқартыңыз.

$$35x-14y=112,35x+10y=160$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 35x+10y=160 мәнін 35x-14y=112 мәнінен алып тастаңыз.

$$35x-35x-14y-10y=112-160$$

35x санын -35x санына қосу. 35x және -35x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-14y-10y=112-160$$

-14y санын -10y санына қосу.

$$-24y=112-160$$

112 санын -160 санына қосу.

$$-24y=-48$$

Екі жағын да -24 санына бөліңіз.

$$y=2$$

7x+2y=32 теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$7x+2\times 2=32$$

2 санын 2 санына көбейтіңіз.

$$7x+4=32$$

Теңдеудің екі жағынан 4 санын алып тастаңыз.

$$7x=28$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$x=4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=4,y=2$$