{l}{5x+y=9}{10x-7y=-18} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 9 } \\ { 10 x - 7 y = - 18 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=1$$

$$y=4$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x+y=9$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$5x=-y+9$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+9\right)$$

\frac{1}{5} санын -y+9 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{-y+9}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 10x-7y=-18.

$$10\left(-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}\right)-7y=-18$$

10 санын \frac{-y+9}{5} санына көбейтіңіз.

$$-2y+18-7y=-18$$

-2y санын -7y санына қосу.

$$-9y+18=-18$$

Теңдеудің екі жағынан 18 санын алып тастаңыз.

$$-9y=-36$$

Екі жағын да -9 санына бөліңіз.

$$y=4$$

x=-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5} теңдеуінде 4 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{5}\times 4+\frac{9}{5}$$

-\frac{1}{5} санын 4 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-4+9}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{9}{5} бөлшегіне -\frac{4}{5} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1,y=4$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 матрицасы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5\left(-7\right)-10}&-\frac{1}{5\left(-7\right)-10}\\-\frac{10}{5\left(-7\right)-10}&\frac{5}{5\left(-7\right)-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{45}&\frac{1}{45}\\\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{45}\times 9+\frac{1}{45}\left(-18\right)\\\frac{2}{9}\times 9-\frac{1}{9}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=1,y=4$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

5x және 10x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 10 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$10\times 5x+10y=10\times 9,5\times 10x+5\left(-7\right)y=5\left(-18\right)$$

Қысқартыңыз.

$$50x+10y=90,50x-35y=-90$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 50x-35y=-90 мәнін 50x+10y=90 мәнінен алып тастаңыз.

$$50x-50x+10y+35y=90+90$$

50x санын -50x санына қосу. 50x және -50x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$10y+35y=90+90$$

10y санын 35y санына қосу.

$$45y=90+90$$

90 санын 90 санына қосу.

$$45y=180$$

Екі жағын да 45 санына бөліңіз.

$$y=4$$

10x-7y=-18 теңдеуінде 4 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$10x-7\times 4=-18$$

-7 санын 4 санына көбейтіңіз.

$$10x-28=-18$$

Теңдеудің екі жағына да 28 санын қосыңыз.

$$10x=10$$

Екі жағын да 10 санына бөліңіз.

$$x=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1,y=4$$