{l}{5x+y=-17}{2x+5y=7} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = - 17 } \\ { 2 x + 5 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-4$$

$$y=3$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x+y=-17,2x+5y=7$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x+y=-17$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$5x=-y-17$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y-17\right)$$

\frac{1}{5} санын -y-17 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{5}y-\frac{17}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{-y-17}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x+5y=7.

$$2\left(-\frac{1}{5}y-\frac{17}{5}\right)+5y=7$$

2 санын \frac{-y-17}{5} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{2}{5}y-\frac{34}{5}+5y=7$$

-\frac{2y}{5} санын 5y санына қосу.

$$\frac{23}{5}y-\frac{34}{5}=7$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{34}{5} санын қосыңыз.

$$\frac{23}{5}y=\frac{69}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{23}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=3$$

x=-\frac{1}{5}y-\frac{17}{5} теңдеуінде 3 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{5}\times 3-\frac{17}{5}$$

-\frac{1}{5} санын 3 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-3-17}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{17}{5} бөлшегіне -\frac{3}{5} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-4,y=3$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x+y=-17,2x+5y=7$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-17\\7\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\7\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\7\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-2}&-\frac{1}{5\times 5-2}\\-\frac{2}{5\times 5-2}&\frac{5}{5\times 5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&-\frac{1}{23}\\-\frac{2}{23}&\frac{5}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\7\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\left(-17\right)-\frac{1}{23}\times 7\\-\frac{2}{23}\left(-17\right)+\frac{5}{23}\times 7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-4,y=3$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x+y=-17,2x+5y=7$$

5x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$2\times 5x+2y=2\left(-17\right),5\times 2x+5\times 5y=5\times 7$$

Қысқартыңыз.

$$10x+2y=-34,10x+25y=35$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 10x+25y=35 мәнін 10x+2y=-34 мәнінен алып тастаңыз.

$$10x-10x+2y-25y=-34-35$$

10x санын -10x санына қосу. 10x және -10x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$2y-25y=-34-35$$

2y санын -25y санына қосу.

$$-23y=-34-35$$

-34 санын -35 санына қосу.

$$-23y=-69$$

Екі жағын да -23 санына бөліңіз.

$$y=3$$

2x+5y=7 теңдеуінде 3 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x+5\times 3=7$$

5 санын 3 санына көбейтіңіз.

$$2x+15=7$$

Теңдеудің екі жағынан 15 санын алып тастаңыз.

$$2x=-8$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=-4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-4,y=3$$