{l}{5x+6y=121}{6x+5y=121} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 6 y = 121 } \\ { 6 x + 5 y = 121 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=11$$

$$y=11$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x+6y=121,6x+5y=121$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x+6y=121$$

Теңдеудің екі жағынан 6y санын алып тастаңыз.

$$5x=-6y+121$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(-6y+121\right)$$

\frac{1}{5} санын -6y+121 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{6}{5}y+\frac{121}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{-6y+121}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 6x+5y=121.

$$6\left(-\frac{6}{5}y+\frac{121}{5}\right)+5y=121$$

6 санын \frac{-6y+121}{5} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{36}{5}y+\frac{726}{5}+5y=121$$

-\frac{36y}{5} санын 5y санына қосу.

$$-\frac{11}{5}y+\frac{726}{5}=121$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{726}{5} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{11}{5}y=-\frac{121}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{11}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=11$$

x=-\frac{6}{5}y+\frac{121}{5} теңдеуінде 11 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{6}{5}\times 11+\frac{121}{5}$$

-\frac{6}{5} санын 11 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-66+121}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{121}{5} бөлшегіне -\frac{66}{5} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=11$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=11,y=11$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x+6y=121,6x+5y=121$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&6\\6&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}121\\121\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&6\\6&5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&6\\6&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}121\\121\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}121\\121\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}121\\121\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-6\times 6}&-\frac{6}{5\times 5-6\times 6}\\-\frac{6}{5\times 5-6\times 6}&\frac{5}{5\times 5-6\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}121\\121\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{11}&\frac{6}{11}\\\frac{6}{11}&-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}121\\121\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{11}\times 121+\frac{6}{11}\times 121\\\frac{6}{11}\times 121-\frac{5}{11}\times 121\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=11,y=11$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x+6y=121,6x+5y=121$$

5x және 6x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 6 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$6\times 5x+6\times 6y=6\times 121,5\times 6x+5\times 5y=5\times 121$$

Қысқартыңыз.

$$30x+36y=726,30x+25y=605$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 30x+25y=605 мәнін 30x+36y=726 мәнінен алып тастаңыз.

$$30x-30x+36y-25y=726-605$$

30x санын -30x санына қосу. 30x және -30x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$36y-25y=726-605$$

36y санын -25y санына қосу.

$$11y=726-605$$

726 санын -605 санына қосу.

$$11y=121$$

Екі жағын да 11 санына бөліңіз.

$$y=11$$

6x+5y=121 теңдеуінде 11 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$6x+5\times 11=121$$

5 санын 11 санына көбейтіңіз.

$$6x+55=121$$

Теңдеудің екі жағынан 55 санын алып тастаңыз.

$$6x=66$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$x=11$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=11,y=11$$