{l}{5x+3y=7}{y=2x+1} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 7 } \\ { y = 2 x + 1 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{4}{11}\approx 0.363636364$$

$$y = \frac{19}{11} = 1\frac{8}{11} \approx 1.727272727$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2x мәнін қысқартыңыз.

$$y-2x=1$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x+3y=7,-2x+y=1$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x+3y=7$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$5x=-3y+7$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+7\right)$$

\frac{1}{5} санын -3y+7 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{-3y+7}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -2x+y=1.

$$-2\left(-\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}\right)+y=1$$

-2 санын \frac{-3y+7}{5} санына көбейтіңіз.

$$\frac{6}{5}y-\frac{14}{5}+y=1$$

\frac{6y}{5} санын y санына қосу.

$$\frac{11}{5}y-\frac{14}{5}=1$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{14}{5} санын қосыңыз.

$$\frac{11}{5}y=\frac{19}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{11}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{19}{11}$$

x=-\frac{3}{5}y+\frac{7}{5} теңдеуінде \frac{19}{11} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{19}{11}+\frac{7}{5}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{19}{11} санын -\frac{3}{5} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{57}{55}+\frac{7}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{7}{5} бөлшегіне -\frac{57}{55} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{4}{11}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{4}{11},y=\frac{19}{11}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2x мәнін қысқартыңыз.

$$y-2x=1$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x+3y=7,-2x+y=1$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 матрицасы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{5-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{5-3\left(-2\right)}&\frac{5}{5-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&-\frac{3}{11}\\\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 7-\frac{3}{11}\\\frac{2}{11}\times 7+\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\\\frac{19}{11}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{4}{11},y=\frac{19}{11}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2x мәнін қысқартыңыз.

$$y-2x=1$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x+3y=7,-2x+y=1$$

5x және -2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$-2\times 5x-2\times 3y=-2\times 7,5\left(-2\right)x+5y=5$$

Қысқартыңыз.

$$-10x-6y=-14,-10x+5y=5$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -10x+5y=5 мәнін -10x-6y=-14 мәнінен алып тастаңыз.

$$-10x+10x-6y-5y=-14-5$$

-10x санын 10x санына қосу. -10x және 10x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-6y-5y=-14-5$$

-6y санын -5y санына қосу.

$$-11y=-14-5$$

-14 санын -5 санына қосу.

$$-11y=-19$$

Екі жағын да -11 санына бөліңіз.

$$y=\frac{19}{11}$$

-2x+y=1 теңдеуінде \frac{19}{11} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-2x+\frac{19}{11}=1$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{19}{11} санын алып тастаңыз.

$$-2x=-\frac{8}{11}$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{4}{11}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{4}{11},y=\frac{19}{11}$$