{l}{5x+3y=6}{2x+7y=9} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 6 } \\ { 2 x + 7 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{15}{29}\approx 0.517241379$$

$$y = \frac{33}{29} = 1\frac{4}{29} \approx 1.137931034$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x+3y=6,2x+7y=9$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x+3y=6$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$5x=-3y+6$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+6\right)$$

\frac{1}{5} санын -3y+6 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{-3y+6}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x+7y=9.

$$2\left(-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}\right)+7y=9$$

2 санын \frac{-3y+6}{5} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{6}{5}y+\frac{12}{5}+7y=9$$

-\frac{6y}{5} санын 7y санына қосу.

$$\frac{29}{5}y+\frac{12}{5}=9$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{12}{5} санын алып тастаңыз.

$$\frac{29}{5}y=\frac{33}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{29}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{33}{29}$$

x=-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5} теңдеуінде \frac{33}{29} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{33}{29}+\frac{6}{5}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{33}{29} санын -\frac{3}{5} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{99}{145}+\frac{6}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{6}{5} бөлшегіне -\frac{99}{145} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{15}{29}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{15}{29},y=\frac{33}{29}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x+3y=6,2x+7y=9$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-3\times 2}&-\frac{3}{5\times 7-3\times 2}\\-\frac{2}{5\times 7-3\times 2}&\frac{5}{5\times 7-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}&-\frac{3}{29}\\-\frac{2}{29}&\frac{5}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}\times 6-\frac{3}{29}\times 9\\-\frac{2}{29}\times 6+\frac{5}{29}\times 9\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{29}\\\frac{33}{29}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{15}{29},y=\frac{33}{29}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x+3y=6,2x+7y=9$$

5x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$2\times 5x+2\times 3y=2\times 6,5\times 2x+5\times 7y=5\times 9$$

Қысқартыңыз.

$$10x+6y=12,10x+35y=45$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 10x+35y=45 мәнін 10x+6y=12 мәнінен алып тастаңыз.

$$10x-10x+6y-35y=12-45$$

10x санын -10x санына қосу. 10x және -10x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$6y-35y=12-45$$

6y санын -35y санына қосу.

$$-29y=12-45$$

12 санын -45 санына қосу.

$$-29y=-33$$

Екі жағын да -29 санына бөліңіз.

$$y=\frac{33}{29}$$

2x+7y=9 теңдеуінде \frac{33}{29} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x+7\times \frac{33}{29}=9$$

7 санын \frac{33}{29} санына көбейтіңіз.

$$2x+\frac{231}{29}=9$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{231}{29} санын алып тастаңыз.

$$2x=\frac{30}{29}$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{15}{29}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{15}{29},y=\frac{33}{29}$$