{l}{5x+3y=-22}{-3x-3y=18} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = - 22 } \\ { - 3 x - 3 y = 18 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-2$$

$$y=-4$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x+3y=-22,-3x-3y=18$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x+3y=-22$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$5x=-3y-22$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y-22\right)$$

\frac{1}{5} санын -3y-22 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{5}y-\frac{22}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{-3y-22}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -3x-3y=18.

$$-3\left(-\frac{3}{5}y-\frac{22}{5}\right)-3y=18$$

-3 санын \frac{-3y-22}{5} санына көбейтіңіз.

$$\frac{9}{5}y+\frac{66}{5}-3y=18$$

\frac{9y}{5} санын -3y санына қосу.

$$-\frac{6}{5}y+\frac{66}{5}=18$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{66}{5} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{6}{5}y=\frac{24}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{6}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-4$$

x=-\frac{3}{5}y-\frac{22}{5} теңдеуінде -4 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{5}\left(-4\right)-\frac{22}{5}$$

-\frac{3}{5} санын -4 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{12-22}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{22}{5} бөлшегіне \frac{12}{5} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-2,y=-4$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x+3y=-22,-3x-3y=18$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\-3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22\\18\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&3\\-3&-3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\-3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\18\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\18\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{5\left(-3\right)-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{5\left(-3\right)-3\left(-3\right)}&\frac{5}{5\left(-3\right)-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-22\\18\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&-\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-22\\18\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-22\right)+\frac{1}{2}\times 18\\-\frac{1}{2}\left(-22\right)-\frac{5}{6}\times 18\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-2,y=-4$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x+3y=-22,-3x-3y=18$$

5x және -3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$-3\times 5x-3\times 3y=-3\left(-22\right),5\left(-3\right)x+5\left(-3\right)y=5\times 18$$

Қысқартыңыз.

$$-15x-9y=66,-15x-15y=90$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -15x-15y=90 мәнін -15x-9y=66 мәнінен алып тастаңыз.

$$-15x+15x-9y+15y=66-90$$

-15x санын 15x санына қосу. -15x және 15x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-9y+15y=66-90$$

-9y санын 15y санына қосу.

$$6y=66-90$$

66 санын -90 санына қосу.

$$6y=-24$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$y=-4$$

-3x-3y=18 теңдеуінде -4 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-3x-3\left(-4\right)=18$$

-3 санын -4 санына көбейтіңіз.

$$-3x+12=18$$

Теңдеудің екі жағынан 12 санын алып тастаңыз.

$$-3x=6$$

Екі жағын да -3 санына бөліңіз.

$$x=-2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-2,y=-4$$