{l}{5x+2y=17}{2x+3y=3} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 17 } \\ { 2 x + 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{45}{11} = 4\frac{1}{11} \approx 4.090909091$$

$$y = -\frac{19}{11} = -1\frac{8}{11} \approx -1.727272727$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x+2y=17,2x+3y=3$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x+2y=17$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$5x=-2y+17$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+17\right)$$

\frac{1}{5} санын -2y+17 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{17}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{-2y+17}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x+3y=3.

$$2\left(-\frac{2}{5}y+\frac{17}{5}\right)+3y=3$$

2 санын \frac{-2y+17}{5} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{4}{5}y+\frac{34}{5}+3y=3$$

-\frac{4y}{5} санын 3y санына қосу.

$$\frac{11}{5}y+\frac{34}{5}=3$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{34}{5} санын алып тастаңыз.

$$\frac{11}{5}y=-\frac{19}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{11}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{19}{11}$$

x=-\frac{2}{5}y+\frac{17}{5} теңдеуінде -\frac{19}{11} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{2}{5}\left(-\frac{19}{11}\right)+\frac{17}{5}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{19}{11} санын -\frac{2}{5} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{38}{55}+\frac{17}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{17}{5} бөлшегіне \frac{38}{55} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{45}{11}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{45}{11},y=-\frac{19}{11}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x+2y=17,2x+3y=3$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-2\times 2}&-\frac{2}{5\times 3-2\times 2}\\-\frac{2}{5\times 3-2\times 2}&\frac{5}{5\times 3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&-\frac{2}{11}\\-\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 17-\frac{2}{11}\times 3\\-\frac{2}{11}\times 17+\frac{5}{11}\times 3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{45}{11}\\-\frac{19}{11}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{45}{11},y=-\frac{19}{11}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x+2y=17,2x+3y=3$$

5x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$2\times 5x+2\times 2y=2\times 17,5\times 2x+5\times 3y=5\times 3$$

Қысқартыңыз.

$$10x+4y=34,10x+15y=15$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 10x+15y=15 мәнін 10x+4y=34 мәнінен алып тастаңыз.

$$10x-10x+4y-15y=34-15$$

10x санын -10x санына қосу. 10x және -10x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$4y-15y=34-15$$

4y санын -15y санына қосу.

$$-11y=34-15$$

34 санын -15 санына қосу.

$$-11y=19$$

Екі жағын да -11 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{19}{11}$$

2x+3y=3 теңдеуінде -\frac{19}{11} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x+3\left(-\frac{19}{11}\right)=3$$

3 санын -\frac{19}{11} санына көбейтіңіз.

$$2x-\frac{57}{11}=3$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{57}{11} санын қосыңыз.

$$2x=\frac{90}{11}$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{45}{11}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{45}{11},y=-\frac{19}{11}$$