{l}{5x+2y=-16}{2x-3y=5} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = - 16 } \\ { 2 x - 3 y = 5 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-2$$

$$y=-3$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x+2y=-16,2x-3y=5$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x+2y=-16$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$5x=-2y-16$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y-16\right)$$

\frac{1}{5} санын -2y-16 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{2}{5}y-\frac{16}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{-2y-16}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x-3y=5.

$$2\left(-\frac{2}{5}y-\frac{16}{5}\right)-3y=5$$

2 санын \frac{-2y-16}{5} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{4}{5}y-\frac{32}{5}-3y=5$$

-\frac{4y}{5} санын -3y санына қосу.

$$-\frac{19}{5}y-\frac{32}{5}=5$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{32}{5} санын қосыңыз.

$$-\frac{19}{5}y=\frac{57}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{19}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-3$$

x=-\frac{2}{5}y-\frac{16}{5} теңдеуінде -3 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{2}{5}\left(-3\right)-\frac{16}{5}$$

-\frac{2}{5} санын -3 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{6-16}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{16}{5} бөлшегіне \frac{6}{5} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-2,y=-3$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x+2y=-16,2x-3y=5$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\5\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\5\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\5\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-2\times 2}&-\frac{2}{5\left(-3\right)-2\times 2}\\-\frac{2}{5\left(-3\right)-2\times 2}&\frac{5}{5\left(-3\right)-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\\\frac{2}{19}&-\frac{5}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\5\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}\left(-16\right)+\frac{2}{19}\times 5\\\frac{2}{19}\left(-16\right)-\frac{5}{19}\times 5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-3\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-2,y=-3$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x+2y=-16,2x-3y=5$$

5x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$2\times 5x+2\times 2y=2\left(-16\right),5\times 2x+5\left(-3\right)y=5\times 5$$

Қысқартыңыз.

$$10x+4y=-32,10x-15y=25$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 10x-15y=25 мәнін 10x+4y=-32 мәнінен алып тастаңыз.

$$10x-10x+4y+15y=-32-25$$

10x санын -10x санына қосу. 10x және -10x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$4y+15y=-32-25$$

4y санын 15y санына қосу.

$$19y=-32-25$$

-32 санын -25 санына қосу.

$$19y=-57$$

Екі жағын да 19 санына бөліңіз.

$$y=-3$$

2x-3y=5 теңдеуінде -3 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x-3\left(-3\right)=5$$

-3 санын -3 санына көбейтіңіз.

$$2x+9=5$$

Теңдеудің екі жағынан 9 санын алып тастаңыз.

$$2x=-4$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=-2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-2,y=-3$$