{l}{5x+(3y-2)=0}{x+y=10} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + ( 3 y - 2 ) = 0 } \\ { x + y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-14$$

$$y=24$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x+3y-2=0,x+y=10$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x+3y-2=0$$

Теңдеудің екі жағына да 2 санын қосыңыз.

$$5x+3y=2$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$5x=-3y+2$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+2\right)$$

\frac{1}{5} санын -3y+2 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{-3y+2}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x+y=10.

$$-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}+y=10$$

-\frac{3y}{5} санын y санына қосу.

$$\frac{2}{5}y+\frac{2}{5}=10$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{2}{5} санын алып тастаңыз.

$$\frac{2}{5}y=\frac{48}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{2}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=24$$

x=-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5} теңдеуінде 24 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{5}\times 24+\frac{2}{5}$$

-\frac{3}{5} санын 24 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-72+2}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{2}{5} бөлшегіне -\frac{72}{5} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-14$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-14,y=24$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x+3y-2=0,x+y=10$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-3}&-\frac{3}{5-3}\\-\frac{1}{5-3}&\frac{5}{5-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 2-\frac{3}{2}\times 10\\-\frac{1}{2}\times 2+\frac{5}{2}\times 10\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\24\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-14,y=24$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x+3y-2=0,x+y=10$$

5x және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$5x+3y-2=0,5x+5y=5\times 10$$

Қысқартыңыз.

$$5x+3y-2=0,5x+5y=50$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 5x+5y=50 мәнін 5x+3y-2=0 мәнінен алып тастаңыз.

$$5x-5x+3y-5y-2=-50$$

5x санын -5x санына қосу. 5x және -5x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$3y-5y-2=-50$$

3y санын -5y санына қосу.

$$-2y-2=-50$$

Теңдеудің екі жағына да 2 санын қосыңыз.

$$-2y=-48$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$y=24$$

x+y=10 теңдеуінде 24 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x+24=10$$

Теңдеудің екі жағынан 24 санын алып тастаңыз.

$$x=-14$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-14,y=24$$