{l}{5a+25b=99}{25a+165b=523} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 5 a + 25 b = 99 } \\ { 25 a + 165 b = 523 } \end{array} \right.$$

a, b мәнін табыңыз

$$a = \frac{163}{10} = 16\frac{3}{10} = 16.3$$

$$b=\frac{7}{10}=0.7$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5a+25b=99,25a+165b=523$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және a мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы a мәнін шешіңіз.

$$5a+25b=99$$

Теңдеудің екі жағынан 25b санын алып тастаңыз.

$$5a=-25b+99$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$a=\frac{1}{5}\left(-25b+99\right)$$

\frac{1}{5} санын -25b+99 санына көбейтіңіз.

$$a=-5b+\frac{99}{5}$$

Басқа теңдеуде -5b+\frac{99}{5} мәнін a мәнімен ауыстырыңыз, 25a+165b=523.

$$25\left(-5b+\frac{99}{5}\right)+165b=523$$

25 санын -5b+\frac{99}{5} санына көбейтіңіз.

$$-125b+495+165b=523$$

-125b санын 165b санына қосу.

$$40b+495=523$$

Теңдеудің екі жағынан 495 санын алып тастаңыз.

$$40b=28$$

Екі жағын да 40 санына бөліңіз.

$$b=\frac{7}{10}$$

a=-5b+\frac{99}{5} теңдеуінде \frac{7}{10} мәнін b мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, a мәнін тікелей таба аласыз.

$$a=-5\times \frac{7}{10}+\frac{99}{5}$$

-5 санын \frac{7}{10} санына көбейтіңіз.

$$a=-\frac{7}{2}+\frac{99}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{99}{5} бөлшегіне -\frac{7}{2} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$a=\frac{163}{10}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$a=\frac{163}{10},b=\frac{7}{10}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5a+25b=99,25a+165b=523$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&25\\25&165\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}99\\523\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&25\\25&165\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&25\\25&165\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&25\\25&165\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&25\\25&165\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}99\\523\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&25\\25&165\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}99\\523\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&25\\25&165\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}99\\523\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{165}{5\times 165-25\times 25}&-\frac{25}{5\times 165-25\times 25}\\-\frac{25}{5\times 165-25\times 25}&\frac{5}{5\times 165-25\times 25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}99\\523\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33}{40}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{8}&\frac{1}{40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}99\\523\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33}{40}\times 99-\frac{1}{8}\times 523\\-\frac{1}{8}\times 99+\frac{1}{40}\times 523\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{163}{10}\\\frac{7}{10}\end{matrix}\right)$$

a және b матрица элементтерін шығарыңыз.

$$a=\frac{163}{10},b=\frac{7}{10}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5a+25b=99,25a+165b=523$$

5a және 25a мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 25 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$25\times 5a+25\times 25b=25\times 99,5\times 25a+5\times 165b=5\times 523$$

Қысқартыңыз.

$$125a+625b=2475,125a+825b=2615$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 125a+825b=2615 мәнін 125a+625b=2475 мәнінен алып тастаңыз.

$$125a-125a+625b-825b=2475-2615$$

125a санын -125a санына қосу. 125a және -125a мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$625b-825b=2475-2615$$

625b санын -825b санына қосу.

$$-200b=2475-2615$$

2475 санын -2615 санына қосу.

$$-200b=-140$$

Екі жағын да -200 санына бөліңіз.

$$b=\frac{7}{10}$$

25a+165b=523 теңдеуінде \frac{7}{10} мәнін b мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, a мәнін тікелей таба аласыз.

$$25a+165\times \frac{7}{10}=523$$

165 санын \frac{7}{10} санына көбейтіңіз.

$$25a+\frac{231}{2}=523$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{231}{2} санын алып тастаңыз.

$$25a=\frac{815}{2}$$

Екі жағын да 25 санына бөліңіз.

$$a=\frac{163}{10}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$a=\frac{163}{10},b=\frac{7}{10}$$