{l}{5(x+2)=4y}{3(y-4)=6x} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 5 ( x + 2 ) = 4 y } \\ { 3 ( y - 4 ) = 6 x } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-2$$

$$y=0$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. 5 мәнін x+2 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$5x+10=4y$$

Екі жағынан да 4y мәнін қысқартыңыз.

$$5x+10-4y=0$$

Екі жағынан да 10 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$5x-4y=-10$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. 3 мәнін y-4 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$3y-12=6x$$

Екі жағынан да 6x мәнін қысқартыңыз.

$$3y-12-6x=0$$

Екі жағына 12 қосу. Кез келген сан мен нөлдің қосындысы сол санның өзіне тең болады.

$$3y-6x=12$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x-4y=-10,-6x+3y=12$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x-4y=-10$$

Теңдеудің екі жағына да 4y санын қосыңыз.

$$5x=4y-10$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-10\right)$$

\frac{1}{5} санын 4y-10 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{4}{5}y-2$$

Басқа теңдеуде \frac{4y}{5}-2 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -6x+3y=12.

$$-6\left(\frac{4}{5}y-2\right)+3y=12$$

-6 санын \frac{4y}{5}-2 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{24}{5}y+12+3y=12$$

-\frac{24y}{5} санын 3y санына қосу.

$$-\frac{9}{5}y+12=12$$

Теңдеудің екі жағынан 12 санын алып тастаңыз.

$$-\frac{9}{5}y=0$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{9}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=0$$

x=\frac{4}{5}y-2 теңдеуінде 0 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-2,y=0$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. 5 мәнін x+2 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$5x+10=4y$$

Екі жағынан да 4y мәнін қысқартыңыз.

$$5x+10-4y=0$$

Екі жағынан да 10 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$5x-4y=-10$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. 3 мәнін y-4 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$3y-12=6x$$

Екі жағынан да 6x мәнін қысқартыңыз.

$$3y-12-6x=0$$

Екі жағына 12 қосу. Кез келген сан мен нөлдің қосындысы сол санның өзіне тең болады.

$$3y-6x=12$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x-4y=-10,-6x+3y=12$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{4}{9}\\-\frac{2}{3}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-10\right)-\frac{4}{9}\times 12\\-\frac{2}{3}\left(-10\right)-\frac{5}{9}\times 12\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\0\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-2,y=0$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. 5 мәнін x+2 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$5x+10=4y$$

Екі жағынан да 4y мәнін қысқартыңыз.

$$5x+10-4y=0$$

Екі жағынан да 10 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$5x-4y=-10$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. 3 мәнін y-4 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$3y-12=6x$$

Екі жағынан да 6x мәнін қысқартыңыз.

$$3y-12-6x=0$$

Екі жағына 12 қосу. Кез келген сан мен нөлдің қосындысы сол санның өзіне тең болады.

$$3y-6x=12$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x-4y=-10,-6x+3y=12$$

5x және -6x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -6 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$-6\times 5x-6\left(-4\right)y=-6\left(-10\right),5\left(-6\right)x+5\times 3y=5\times 12$$

Қысқартыңыз.

$$-30x+24y=60,-30x+15y=60$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -30x+15y=60 мәнін -30x+24y=60 мәнінен алып тастаңыз.

$$-30x+30x+24y-15y=60-60$$

-30x санын 30x санына қосу. -30x және 30x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$24y-15y=60-60$$

24y санын -15y санына қосу.

$$9y=60-60$$

60 санын -60 санына қосу.

$$9y=0$$

Екі жағын да 9 санына бөліңіз.

$$y=0$$

-6x+3y=12 теңдеуінде 0 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-6x=12$$

Екі жағын да -6 санына бөліңіз.

$$x=-2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-2,y=0$$