{l}{41x+53y=135}{53x+41y=147} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 41 x + 53 y = 135 } \\ { 53 x + 41 y = 147 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=2$$

$$y=1$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$41x+53y=135$$

Теңдеудің екі жағынан 53y санын алып тастаңыз.

$$41x=-53y+135$$

Екі жағын да 41 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{41}\left(-53y+135\right)$$

\frac{1}{41} санын -53y+135 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41}$$

Басқа теңдеуде \frac{-53y+135}{41} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 53x+41y=147.

$$53\left(-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41}\right)+41y=147$$

53 санын \frac{-53y+135}{41} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{2809}{41}y+\frac{7155}{41}+41y=147$$

-\frac{2809y}{41} санын 41y санына қосу.

$$-\frac{1128}{41}y+\frac{7155}{41}=147$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{7155}{41} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{1128}{41}y=-\frac{1128}{41}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{1128}{41} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=1$$

x=-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41} теңдеуінде 1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{-53+135}{41}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{135}{41} бөлшегіне -\frac{53}{41} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2,y=1$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41}{41\times 41-53\times 53}&-\frac{53}{41\times 41-53\times 53}\\-\frac{53}{41\times 41-53\times 53}&\frac{41}{41\times 41-53\times 53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{41}{1128}&\frac{53}{1128}\\\frac{53}{1128}&-\frac{41}{1128}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{41}{1128}\times 135+\frac{53}{1128}\times 147\\\frac{53}{1128}\times 135-\frac{41}{1128}\times 147\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=2,y=1$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

41x және 53x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 53 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 41 санына көбейтіңіз.

$$53\times 41x+53\times 53y=53\times 135,41\times 53x+41\times 41y=41\times 147$$

Қысқартыңыз.

$$2173x+2809y=7155,2173x+1681y=6027$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 2173x+1681y=6027 мәнін 2173x+2809y=7155 мәнінен алып тастаңыз.

$$2173x-2173x+2809y-1681y=7155-6027$$

2173x санын -2173x санына қосу. 2173x және -2173x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$2809y-1681y=7155-6027$$

2809y санын -1681y санына қосу.

$$1128y=7155-6027$$

7155 санын -6027 санына қосу.

$$1128y=1128$$

Екі жағын да 1128 санына бөліңіз.

$$y=1$$

53x+41y=147 теңдеуінде 1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$53x+41=147$$

Теңдеудің екі жағынан 41 санын алып тастаңыз.

$$53x=106$$

Екі жағын да 53 санына бөліңіз.

$$x=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2,y=1$$