{l}{40x+30y=500}{60x+15y=600} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 40 x + 30 y = 500 } \\ { 60 x + 15 y = 600 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{35}{4} = 8\frac{3}{4} = 8.75$$

$$y=5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$40x+30y=500,60x+15y=600$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$40x+30y=500$$

Теңдеудің екі жағынан 30y санын алып тастаңыз.

$$40x=-30y+500$$

Екі жағын да 40 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{40}\left(-30y+500\right)$$

\frac{1}{40} санын -30y+500 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}$$

Басқа теңдеуде -\frac{3y}{4}+\frac{25}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 60x+15y=600.

$$60\left(-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}\right)+15y=600$$

60 санын -\frac{3y}{4}+\frac{25}{2} санына көбейтіңіз.

$$-45y+750+15y=600$$

-45y санын 15y санына қосу.

$$-30y+750=600$$

Теңдеудің екі жағынан 750 санын алып тастаңыз.

$$-30y=-150$$

Екі жағын да -30 санына бөліңіз.

$$y=5$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2} теңдеуінде 5 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{4}\times 5+\frac{25}{2}$$

-\frac{3}{4} санын 5 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{15}{4}+\frac{25}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{25}{2} бөлшегіне -\frac{15}{4} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{35}{4}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{35}{4},y=5$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$40x+30y=500,60x+15y=600$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{40\times 15-30\times 60}&-\frac{30}{40\times 15-30\times 60}\\-\frac{60}{40\times 15-30\times 60}&\frac{40}{40\times 15-30\times 60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{40}\\\frac{1}{20}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 500+\frac{1}{40}\times 600\\\frac{1}{20}\times 500-\frac{1}{30}\times 600\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{4}\\5\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{35}{4},y=5$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$40x+30y=500,60x+15y=600$$

40x және 60x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 60 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 40 санына көбейтіңіз.

$$60\times 40x+60\times 30y=60\times 500,40\times 60x+40\times 15y=40\times 600$$

Қысқартыңыз.

$$2400x+1800y=30000,2400x+600y=24000$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 2400x+600y=24000 мәнін 2400x+1800y=30000 мәнінен алып тастаңыз.

$$2400x-2400x+1800y-600y=30000-24000$$

2400x санын -2400x санына қосу. 2400x және -2400x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$1800y-600y=30000-24000$$

1800y санын -600y санына қосу.

$$1200y=30000-24000$$

30000 санын -24000 санына қосу.

$$1200y=6000$$

Екі жағын да 1200 санына бөліңіз.

$$y=5$$

60x+15y=600 теңдеуінде 5 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$60x+15\times 5=600$$

15 санын 5 санына көбейтіңіз.

$$60x+75=600$$

Теңдеудің екі жағынан 75 санын алып тастаңыз.

$$60x=525$$

Екі жағын да 60 санына бөліңіз.

$$x=\frac{35}{4}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{35}{4},y=5$$