{l}{4y-3x=8}{ax+4=2y} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 4 y - 3 x = 8 } \\ { a x + 4 = 2 y } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=0\text{, }y=2\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{4\left(y-2\right)}{3}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&a=\frac{3}{2}\end{matrix}\right.$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2y мәнін қысқартыңыз.

$$ax+4-2y=0$$

Екі жағынан да 4 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$ax-2y=-4$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және y мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y мәнін шешіңіз.

$$4y-3x=8$$

Теңдеудің екі жағына да 3x санын қосыңыз.

$$4y=3x+8$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$y=\frac{1}{4}\left(3x+8\right)$$

\frac{1}{4} санын 3x+8 санына көбейтіңіз.

$$y=\frac{3}{4}x+2$$

Басқа теңдеуде \frac{3x}{4}+2 мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, -2y+ax=-4.

$$-2\left(\frac{3}{4}x+2\right)+ax=-4$$

-2 санын \frac{3x}{4}+2 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{3}{2}x-4+ax=-4$$

-\frac{3x}{2} санын ax санына қосу.

$$\left(a-\frac{3}{2}\right)x-4=-4$$

Теңдеудің екі жағына да 4 санын қосыңыз.

$$\left(a-\frac{3}{2}\right)x=0$$

Екі жағын да -\frac{3}{2}+a санына бөліңіз.

$$x=0$$

y=\frac{3}{4}x+2 теңдеуінде 0 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=2,x=0$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2y мәнін қысқартыңыз.

$$ax+4-2y=0$$

Екі жағынан да 4 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$ax-2y=-4$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{4}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{2\left(2a-3\right)}&\frac{3}{2\left(2a-3\right)}\\\frac{1}{2a-3}&\frac{2}{2a-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{2\left(2a-3\right)}\times 8+\frac{3}{2\left(2a-3\right)}\left(-4\right)\\\frac{1}{2a-3}\times 8+\frac{2}{2a-3}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

y және x матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=2,x=0$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2y мәнін қысқартыңыз.

$$ax+4-2y=0$$

Екі жағынан да 4 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$ax-2y=-4$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

4y және -2y мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына көбейтіңіз.

$$-2\times 4y-2\left(-3\right)x=-2\times 8,4\left(-2\right)y+4ax=4\left(-4\right)$$

Қысқартыңыз.

$$-8y+6x=-16,-8y+4ax=-16$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -8y+4ax=-16 мәнін -8y+6x=-16 мәнінен алып тастаңыз.

$$-8y+8y+6x+\left(-4a\right)x=-16+16$$

-8y санын 8y санына қосу. -8y және 8y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$6x+\left(-4a\right)x=-16+16$$

6x санын -4ax санына қосу.

$$\left(6-4a\right)x=-16+16$$

-16 санын 16 санына қосу.

$$\left(6-4a\right)x=0$$

Екі жағын да 6-4a санына бөліңіз.

$$x=0$$

-2y+ax=-4 теңдеуінде 0 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$-2y=-4$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$y=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=2,x=0$$

x, y мәнін табыңыз

$$\left\{\begin{matrix}\\x=0\text{, }y=2\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{4\left(y-2\right)}{3}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=\frac{3}{2}\end{matrix}\right.$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2y мәнін қысқартыңыз.

$$ax+4-2y=0$$

Екі жағынан да 4 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$ax-2y=-4$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және y мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y мәнін шешіңіз.

$$4y-3x=8$$

Теңдеудің екі жағына да 3x санын қосыңыз.

$$4y=3x+8$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$y=\frac{1}{4}\left(3x+8\right)$$

\frac{1}{4} санын 3x+8 санына көбейтіңіз.

$$y=\frac{3}{4}x+2$$

Басқа теңдеуде \frac{3x}{4}+2 мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, -2y+ax=-4.

$$-2\left(\frac{3}{4}x+2\right)+ax=-4$$

-2 санын \frac{3x}{4}+2 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{3}{2}x-4+ax=-4$$

-\frac{3x}{2} санын ax санына қосу.

$$\left(a-\frac{3}{2}\right)x-4=-4$$

Теңдеудің екі жағына да 4 санын қосыңыз.

$$\left(a-\frac{3}{2}\right)x=0$$

Екі жағын да -\frac{3}{2}+a санына бөліңіз.

$$x=0$$

y=\frac{3}{4}x+2 теңдеуінде 0 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=2,x=0$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2y мәнін қысқартыңыз.

$$ax+4-2y=0$$

Екі жағынан да 4 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$ax-2y=-4$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{4}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{2\left(2a-3\right)}&\frac{3}{2\left(2a-3\right)}\\\frac{1}{2a-3}&\frac{2}{2a-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{2\left(2a-3\right)}\times 8+\frac{3}{2\left(2a-3\right)}\left(-4\right)\\\frac{1}{2a-3}\times 8+\frac{2}{2a-3}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

y және x матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=2,x=0$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2y мәнін қысқартыңыз.

$$ax+4-2y=0$$

Екі жағынан да 4 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$ax-2y=-4$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

4y және -2y мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына көбейтіңіз.

$$-2\times 4y-2\left(-3\right)x=-2\times 8,4\left(-2\right)y+4ax=4\left(-4\right)$$

Қысқартыңыз.

$$-8y+6x=-16,-8y+4ax=-16$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -8y+4ax=-16 мәнін -8y+6x=-16 мәнінен алып тастаңыз.

$$-8y+8y+6x+\left(-4a\right)x=-16+16$$

-8y санын 8y санына қосу. -8y және 8y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$6x+\left(-4a\right)x=-16+16$$

6x санын -4ax санына қосу.

$$\left(6-4a\right)x=-16+16$$

-16 санын 16 санына қосу.

$$\left(6-4a\right)x=0$$

Екі жағын да 6-4a санына бөліңіз.

$$x=0$$

-2y+ax=-4 теңдеуінде 0 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$-2y=-4$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$y=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=2,x=0$$