{l}{4y+2x=8}{y-13x=2} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 4 y + 2 x = 8 } \\ { y - 13 x = 2 } \end{array} \right.$$

y, x мәнін табыңыз

$$x=0$$

$$y=2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$4y+2x=8,y-13x=2$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және y мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y мәнін шешіңіз.

$$4y+2x=8$$

Теңдеудің екі жағынан 2x санын алып тастаңыз.

$$4y=-2x+8$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$y=\frac{1}{4}\left(-2x+8\right)$$

\frac{1}{4} санын -2x+8 санына көбейтіңіз.

$$y=-\frac{1}{2}x+2$$

Басқа теңдеуде -\frac{x}{2}+2 мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, y-13x=2.

$$-\frac{1}{2}x+2-13x=2$$

-\frac{x}{2} санын -13x санына қосу.

$$-\frac{27}{2}x+2=2$$

Теңдеудің екі жағынан 2 санын алып тастаңыз.

$$-\frac{27}{2}x=0$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{27}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=0$$

y=-\frac{1}{2}x+2 теңдеуінде 0 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=2,x=0$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$4y+2x=8,y-13x=2$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\1&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}4&2\\1&-13\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\1&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{4\left(-13\right)-2}&-\frac{2}{4\left(-13\right)-2}\\-\frac{1}{4\left(-13\right)-2}&\frac{4}{4\left(-13\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{54}&\frac{1}{27}\\\frac{1}{54}&-\frac{2}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{54}\times 8+\frac{1}{27}\times 2\\\frac{1}{54}\times 8-\frac{2}{27}\times 2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

y және x матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=2,x=0$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$4y+2x=8,y-13x=2$$

4y және y мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына көбейтіңіз.

$$4y+2x=8,4y+4\left(-13\right)x=4\times 2$$

Қысқартыңыз.

$$4y+2x=8,4y-52x=8$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 4y-52x=8 мәнін 4y+2x=8 мәнінен алып тастаңыз.

$$4y-4y+2x+52x=8-8$$

4y санын -4y санына қосу. 4y және -4y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$2x+52x=8-8$$

2x санын 52x санына қосу.

$$54x=8-8$$

8 санын -8 санына қосу.

$$54x=0$$

Екі жағын да 54 санына бөліңіз.

$$x=0$$

y-13x=2 теңдеуінде 0 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=2,x=0$$