{l}{4x-5y=18}{3x-2y=10} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 5 y = 18 } \\ { 3 x - 2 y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=2$$

$$y=-2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$4x-5y=18,3x-2y=10$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$4x-5y=18$$

Теңдеудің екі жағына да 5y санын қосыңыз.

$$4x=5y+18$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+18\right)$$

\frac{1}{4} санын 5y+18 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{9}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{5y}{4}+\frac{9}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x-2y=10.

$$3\left(\frac{5}{4}y+\frac{9}{2}\right)-2y=10$$

3 санын \frac{5y}{4}+\frac{9}{2} санына көбейтіңіз.

$$\frac{15}{4}y+\frac{27}{2}-2y=10$$

\frac{15y}{4} санын -2y санына қосу.

$$\frac{7}{4}y+\frac{27}{2}=10$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{27}{2} санын алып тастаңыз.

$$\frac{7}{4}y=-\frac{7}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{7}{4} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-2$$

x=\frac{5}{4}y+\frac{9}{2} теңдеуінде -2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{5}{4}\left(-2\right)+\frac{9}{2}$$

\frac{5}{4} санын -2 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-5+9}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{9}{2} бөлшегіне -\frac{5}{2} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2,y=-2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$4x-5y=18,3x-2y=10$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\10\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}4&-5\\3&-2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\10\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\10\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{4\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{4\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}&\frac{4}{4\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\10\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{4}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\10\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\times 18+\frac{5}{7}\times 10\\-\frac{3}{7}\times 18+\frac{4}{7}\times 10\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=2,y=-2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$4x-5y=18,3x-2y=10$$

4x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына көбейтіңіз.

$$3\times 4x+3\left(-5\right)y=3\times 18,4\times 3x+4\left(-2\right)y=4\times 10$$

Қысқартыңыз.

$$12x-15y=54,12x-8y=40$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 12x-8y=40 мәнін 12x-15y=54 мәнінен алып тастаңыз.

$$12x-12x-15y+8y=54-40$$

12x санын -12x санына қосу. 12x және -12x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-15y+8y=54-40$$

-15y санын 8y санына қосу.

$$-7y=54-40$$

54 санын -40 санына қосу.

$$-7y=14$$

Екі жағын да -7 санына бөліңіз.

$$y=-2$$

3x-2y=10 теңдеуінде -2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x-2\left(-2\right)=10$$

-2 санын -2 санына көбейтіңіз.

$$3x+4=10$$

Теңдеудің екі жағынан 4 санын алып тастаңыз.

$$3x=6$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2,y=-2$$