{l}{4x-3y-10=0}{3x+4y+5=0} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 3 y - 10 = 0 } \\ { 3 x + 4 y + 5 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=1$$

$$y=-2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$4x-3y-10=0,3x+4y+5=0$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$4x-3y-10=0$$

Теңдеудің екі жағына да 10 санын қосыңыз.

$$4x-3y=10$$

Теңдеудің екі жағына да 3y санын қосыңыз.

$$4x=3y+10$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+10\right)$$

\frac{1}{4} санын 3y+10 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{3y}{4}+\frac{5}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x+4y+5=0.

$$3\left(\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}\right)+4y+5=0$$

3 санын \frac{3y}{4}+\frac{5}{2} санына көбейтіңіз.

$$\frac{9}{4}y+\frac{15}{2}+4y+5=0$$

\frac{9y}{4} санын 4y санына қосу.

$$\frac{25}{4}y+\frac{15}{2}+5=0$$

\frac{15}{2} санын 5 санына қосу.

$$\frac{25}{4}y+\frac{25}{2}=0$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{25}{2} санын алып тастаңыз.

$$\frac{25}{4}y=-\frac{25}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{25}{4} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-2$$

x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{2} теңдеуінде -2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{3}{4}\left(-2\right)+\frac{5}{2}$$

\frac{3}{4} санын -2 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{5}{2} бөлшегіне -\frac{3}{2} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1,y=-2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$4x-3y-10=0,3x+4y+5=0$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}&\frac{4}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{3}{25}\\-\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 10+\frac{3}{25}\left(-5\right)\\-\frac{3}{25}\times 10+\frac{4}{25}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=1,y=-2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$4x-3y-10=0,3x+4y+5=0$$

4x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына көбейтіңіз.

$$3\times 4x+3\left(-3\right)y+3\left(-10\right)=0,4\times 3x+4\times 4y+4\times 5=0$$

Қысқартыңыз.

$$12x-9y-30=0,12x+16y+20=0$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 12x+16y+20=0 мәнін 12x-9y-30=0 мәнінен алып тастаңыз.

$$12x-12x-9y-16y-30-20=0$$

12x санын -12x санына қосу. 12x және -12x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-9y-16y-30-20=0$$

-9y санын -16y санына қосу.

$$-25y-30-20=0$$

-30 санын -20 санына қосу.

$$-25y-50=0$$

Теңдеудің екі жағына да 50 санын қосыңыз.

$$-25y=50$$

Екі жағын да -25 санына бөліңіз.

$$y=-2$$

3x+4y+5=0 теңдеуінде -2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x+4\left(-2\right)+5=0$$

4 санын -2 санына көбейтіңіз.

$$3x-8+5=0$$

-8 санын 5 санына қосу.

$$3x-3=0$$

Теңдеудің екі жағына да 3 санын қосыңыз.

$$3x=3$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1,y=-2$$