{l}{4x-3y=5}{8x+6y=10} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 3 y = 5 } \\ { 8 x + 6 y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

$$y=0$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$4x-3y=5,8x+6y=10$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$4x-3y=5$$

Теңдеудің екі жағына да 3y санын қосыңыз.

$$4x=3y+5$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+5\right)$$

\frac{1}{4} санын 3y+5 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}$$

Басқа теңдеуде \frac{3y+5}{4} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 8x+6y=10.

$$8\left(\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}\right)+6y=10$$

8 санын \frac{3y+5}{4} санына көбейтіңіз.

$$6y+10+6y=10$$

6y санын 6y санына қосу.

$$12y+10=10$$

Теңдеудің екі жағынан 10 санын алып тастаңыз.

$$12y=0$$

Екі жағын да 12 санына бөліңіз.

$$y=0$$

x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{4} теңдеуінде 0 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{5}{4}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{5}{4},y=0$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$4x-3y=5,8x+6y=10$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\8&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}4&-3\\8&6\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\8&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\8&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\8&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\8&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\8&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-\left(-3\times 8\right)}&-\frac{-3}{4\times 6-\left(-3\times 8\right)}\\-\frac{8}{4\times 6-\left(-3\times 8\right)}&\frac{4}{4\times 6-\left(-3\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{16}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 5+\frac{1}{16}\times 10\\-\frac{1}{6}\times 5+\frac{1}{12}\times 10\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}\\0\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{5}{4},y=0$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$4x-3y=5,8x+6y=10$$

4x және 8x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 8 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына көбейтіңіз.

$$8\times 4x+8\left(-3\right)y=8\times 5,4\times 8x+4\times 6y=4\times 10$$

Қысқартыңыз.

$$32x-24y=40,32x+24y=40$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 32x+24y=40 мәнін 32x-24y=40 мәнінен алып тастаңыз.

$$32x-32x-24y-24y=40-40$$

32x санын -32x санына қосу. 32x және -32x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-24y-24y=40-40$$

-24y санын -24y санына қосу.

$$-48y=40-40$$

40 санын -40 санына қосу.

$$-48y=0$$

Екі жағын да -48 санына бөліңіз.

$$y=0$$

8x+6y=10 теңдеуінде 0 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$8x=10$$

Екі жағын да 8 санына бөліңіз.

$$x=\frac{5}{4}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{5}{4},y=0$$