{l}{4x-3y=1}{5x+3y=-10} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 3 y = 1 } \\ { 5 x + 3 y = - 10 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-1$$

$$y = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$4x-3y=1,5x+3y=-10$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$4x-3y=1$$

Теңдеудің екі жағына да 3y санын қосыңыз.

$$4x=3y+1$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+1\right)$$

\frac{1}{4} санын 3y+1 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}$$

Басқа теңдеуде \frac{3y+1}{4} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 5x+3y=-10.

$$5\left(\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}\right)+3y=-10$$

5 санын \frac{3y+1}{4} санына көбейтіңіз.

$$\frac{15}{4}y+\frac{5}{4}+3y=-10$$

\frac{15y}{4} санын 3y санына қосу.

$$\frac{27}{4}y+\frac{5}{4}=-10$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{5}{4} санын алып тастаңыз.

$$\frac{27}{4}y=-\frac{45}{4}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{27}{4} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{5}{3}$$

x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{4} теңдеуінде -\frac{5}{3} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{3}{4}\left(-\frac{5}{3}\right)+\frac{1}{4}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{5}{3} санын \frac{3}{4} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{-5+1}{4}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{1}{4} бөлшегіне -\frac{5}{4} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-1,y=-\frac{5}{3}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$4x-3y=1,5x+3y=-10$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{4\times 3-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{4\times 3-\left(-3\times 5\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\\-\frac{5}{27}&\frac{4}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}+\frac{1}{9}\left(-10\right)\\-\frac{5}{27}+\frac{4}{27}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-1,y=-\frac{5}{3}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$4x-3y=1,5x+3y=-10$$

4x және 5x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына көбейтіңіз.

$$5\times 4x+5\left(-3\right)y=5,4\times 5x+4\times 3y=4\left(-10\right)$$

Қысқартыңыз.

$$20x-15y=5,20x+12y=-40$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 20x+12y=-40 мәнін 20x-15y=5 мәнінен алып тастаңыз.

$$20x-20x-15y-12y=5+40$$

20x санын -20x санына қосу. 20x және -20x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-15y-12y=5+40$$

-15y санын -12y санына қосу.

$$-27y=5+40$$

5 санын 40 санына қосу.

$$-27y=45$$

Екі жағын да -27 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{5}{3}$$

5x+3y=-10 теңдеуінде -\frac{5}{3} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$5x+3\left(-\frac{5}{3}\right)=-10$$

3 санын -\frac{5}{3} санына көбейтіңіз.

$$5x-5=-10$$

Теңдеудің екі жағына да 5 санын қосыңыз.

$$5x=-5$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=-1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-1,y=-\frac{5}{3}$$