{l}{4x+y=20}{x+3y=-17} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 20 } \\ { x + 3 y = - 17 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=7$$

$$y=-8$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$4x+y=20,x+3y=-17$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$4x+y=20$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$4x=-y+20$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+20\right)$$

\frac{1}{4} санын -y+20 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{4}y+5$$

Басқа теңдеуде -\frac{y}{4}+5 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x+3y=-17.

$$-\frac{1}{4}y+5+3y=-17$$

-\frac{y}{4} санын 3y санына қосу.

$$\frac{11}{4}y+5=-17$$

Теңдеудің екі жағынан 5 санын алып тастаңыз.

$$\frac{11}{4}y=-22$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{11}{4} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-8$$

x=-\frac{1}{4}y+5 теңдеуінде -8 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-8\right)+5$$

-\frac{1}{4} санын -8 санына көбейтіңіз.

$$x=2+5$$

5 санын 2 санына қосу.

$$x=7$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=7,y=-8$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$4x+y=20,x+3y=-17$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-17\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}4&1\\1&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-17\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-17\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-1}&-\frac{1}{4\times 3-1}\\-\frac{1}{4\times 3-1}&\frac{4}{4\times 3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-17\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&-\frac{1}{11}\\-\frac{1}{11}&\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-17\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 20-\frac{1}{11}\left(-17\right)\\-\frac{1}{11}\times 20+\frac{4}{11}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-8\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=7,y=-8$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$4x+y=20,x+3y=-17$$

4x және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына көбейтіңіз.

$$4x+y=20,4x+4\times 3y=4\left(-17\right)$$

Қысқартыңыз.

$$4x+y=20,4x+12y=-68$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 4x+12y=-68 мәнін 4x+y=20 мәнінен алып тастаңыз.

$$4x-4x+y-12y=20+68$$

4x санын -4x санына қосу. 4x және -4x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$y-12y=20+68$$

y санын -12y санына қосу.

$$-11y=20+68$$

20 санын 68 санына қосу.

$$-11y=88$$

Екі жағын да -11 санына бөліңіз.

$$y=-8$$

x+3y=-17 теңдеуінде -8 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x+3\left(-8\right)=-17$$

3 санын -8 санына көбейтіңіз.

$$x-24=-17$$

Теңдеудің екі жағына да 24 санын қосыңыз.

$$x=7$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=7,y=-8$$