{l}{4x+y=15}{5y+19x=30} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 15 } \\ { 5 y + 19 x = 30 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=45$$

$$y=-165$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$4x+y=15$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$4x=-y+15$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+15\right)$$

\frac{1}{4} санын -y+15 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}$$

Басқа теңдеуде \frac{-y+15}{4} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 19x+5y=30.

$$19\left(-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}\right)+5y=30$$

19 санын \frac{-y+15}{4} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{19}{4}y+\frac{285}{4}+5y=30$$

-\frac{19y}{4} санын 5y санына қосу.

$$\frac{1}{4}y+\frac{285}{4}=30$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{285}{4} санын алып тастаңыз.

$$\frac{1}{4}y=-\frac{165}{4}$$

Екі жағын да 4 мәніне көбейтіңіз.

$$y=-165$$

x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4} теңдеуінде -165 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-165\right)+\frac{15}{4}$$

-\frac{1}{4} санын -165 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{165+15}{4}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{15}{4} бөлшегіне \frac{165}{4} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=45$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=45,y=-165$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-19}&-\frac{1}{4\times 5-19}\\-\frac{19}{4\times 5-19}&\frac{4}{4\times 5-19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-1\\-19&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 15-30\\-19\times 15+4\times 30\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\-165\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=45,y=-165$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

4x және 19x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 19 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына көбейтіңіз.

$$19\times 4x+19y=19\times 15,4\times 19x+4\times 5y=4\times 30$$

Қысқартыңыз.

$$76x+19y=285,76x+20y=120$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 76x+20y=120 мәнін 76x+19y=285 мәнінен алып тастаңыз.

$$76x-76x+19y-20y=285-120$$

76x санын -76x санына қосу. 76x және -76x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$19y-20y=285-120$$

19y санын -20y санына қосу.

$$-y=285-120$$

285 санын -120 санына қосу.

$$-y=165$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$y=-165$$

19x+5y=30 теңдеуінде -165 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$19x+5\left(-165\right)=30$$

5 санын -165 санына көбейтіңіз.

$$19x-825=30$$

Теңдеудің екі жағына да 825 санын қосыңыз.

$$19x=855$$

Екі жағын да 19 санына бөліңіз.

$$x=45$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=45,y=-165$$