{l}{4x+9y=28}{-4x-y=-28} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 9 y = 28 } \\ { - 4 x - y = - 28 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=7$$

$$y=0$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$4x+9y=28,-4x-y=-28$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$4x+9y=28$$

Теңдеудің екі жағынан 9y санын алып тастаңыз.

$$4x=-9y+28$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{4}\left(-9y+28\right)$$

\frac{1}{4} санын -9y+28 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{9}{4}y+7$$

Басқа теңдеуде -\frac{9y}{4}+7 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -4x-y=-28.

$$-4\left(-\frac{9}{4}y+7\right)-y=-28$$

-4 санын -\frac{9y}{4}+7 санына көбейтіңіз.

$$9y-28-y=-28$$

9y санын -y санына қосу.

$$8y-28=-28$$

Теңдеудің екі жағына да 28 санын қосыңыз.

$$8y=0$$

Екі жағын да 8 санына бөліңіз.

$$y=0$$

x=-\frac{9}{4}y+7 теңдеуінде 0 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=7$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=7,y=0$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$4x+9y=28,-4x-y=-28$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-9\left(-4\right)}&-\frac{9}{4\left(-1\right)-9\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{4\left(-1\right)-9\left(-4\right)}&\frac{4}{4\left(-1\right)-9\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{32}&-\frac{9}{32}\\\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\-28\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{32}\times 28-\frac{9}{32}\left(-28\right)\\\frac{1}{8}\times 28+\frac{1}{8}\left(-28\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\0\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=7,y=0$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$4x+9y=28,-4x-y=-28$$

4x және -4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына көбейтіңіз.

$$-4\times 4x-4\times 9y=-4\times 28,4\left(-4\right)x+4\left(-1\right)y=4\left(-28\right)$$

Қысқартыңыз.

$$-16x-36y=-112,-16x-4y=-112$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -16x-4y=-112 мәнін -16x-36y=-112 мәнінен алып тастаңыз.

$$-16x+16x-36y+4y=-112+112$$

-16x санын 16x санына қосу. -16x және 16x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-36y+4y=-112+112$$

-36y санын 4y санына қосу.

$$-32y=-112+112$$

-112 санын 112 санына қосу.

$$-32y=0$$

Екі жағын да -32 санына бөліңіз.

$$y=0$$

-4x-y=-28 теңдеуінде 0 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-4x=-28$$

Екі жағын да -4 санына бөліңіз.

$$x=7$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=7,y=0$$