{l}{4x+9y=-16}{10x+6y=26} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 9 y = - 16 } \\ { 10 x + 6 y = 26 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=5$$

$$y=-4$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$4x+9y=-16,10x+6y=26$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$4x+9y=-16$$

Теңдеудің екі жағынан 9y санын алып тастаңыз.

$$4x=-9y-16$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{4}\left(-9y-16\right)$$

\frac{1}{4} санын -9y-16 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{9}{4}y-4$$

Басқа теңдеуде -\frac{9y}{4}-4 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 10x+6y=26.

$$10\left(-\frac{9}{4}y-4\right)+6y=26$$

10 санын -\frac{9y}{4}-4 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{45}{2}y-40+6y=26$$

-\frac{45y}{2} санын 6y санына қосу.

$$-\frac{33}{2}y-40=26$$

Теңдеудің екі жағына да 40 санын қосыңыз.

$$-\frac{33}{2}y=66$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{33}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-4$$

x=-\frac{9}{4}y-4 теңдеуінде -4 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{9}{4}\left(-4\right)-4$$

-\frac{9}{4} санын -4 санына көбейтіңіз.

$$x=9-4$$

-4 санын 9 санына қосу.

$$x=5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=5,y=-4$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$4x+9y=-16,10x+6y=26$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}4&9\\10&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\26\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}4&9\\10&6\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&9\\10&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\26\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\26\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\26\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-9\times 10}&-\frac{9}{4\times 6-9\times 10}\\-\frac{10}{4\times 6-9\times 10}&\frac{4}{4\times 6-9\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\26\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}&\frac{3}{22}\\\frac{5}{33}&-\frac{2}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\26\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\left(-16\right)+\frac{3}{22}\times 26\\\frac{5}{33}\left(-16\right)-\frac{2}{33}\times 26\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=5,y=-4$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$4x+9y=-16,10x+6y=26$$

4x және 10x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 10 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына көбейтіңіз.

$$10\times 4x+10\times 9y=10\left(-16\right),4\times 10x+4\times 6y=4\times 26$$

Қысқартыңыз.

$$40x+90y=-160,40x+24y=104$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 40x+24y=104 мәнін 40x+90y=-160 мәнінен алып тастаңыз.

$$40x-40x+90y-24y=-160-104$$

40x санын -40x санына қосу. 40x және -40x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$90y-24y=-160-104$$

90y санын -24y санына қосу.

$$66y=-160-104$$

-160 санын -104 санына қосу.

$$66y=-264$$

Екі жағын да 66 санына бөліңіз.

$$y=-4$$

10x+6y=26 теңдеуінде -4 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$10x+6\left(-4\right)=26$$

6 санын -4 санына көбейтіңіз.

$$10x-24=26$$

Теңдеудің екі жағына да 24 санын қосыңыз.

$$10x=50$$

Екі жағын да 10 санына бөліңіз.

$$x=5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=5,y=-4$$