{l}{4x+8y=64}{2x-8y=86} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 8 y = 64 } \\ { 2 x - 8 y = 86 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=25$$

$$y = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$4x+8y=64,2x-8y=86$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$4x+8y=64$$

Теңдеудің екі жағынан 8y санын алып тастаңыз.

$$4x=-8y+64$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{4}\left(-8y+64\right)$$

\frac{1}{4} санын -8y+64 санына көбейтіңіз.

$$x=-2y+16$$

Басқа теңдеуде -2y+16 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x-8y=86.

$$2\left(-2y+16\right)-8y=86$$

2 санын -2y+16 санына көбейтіңіз.

$$-4y+32-8y=86$$

-4y санын -8y санына қосу.

$$-12y+32=86$$

Теңдеудің екі жағынан 32 санын алып тастаңыз.

$$-12y=54$$

Екі жағын да -12 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{9}{2}$$

x=-2y+16 теңдеуінде -\frac{9}{2} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-2\left(-\frac{9}{2}\right)+16$$

-2 санын -\frac{9}{2} санына көбейтіңіз.

$$x=9+16$$

16 санын 9 санына қосу.

$$x=25$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=25,y=-\frac{9}{2}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$4x+8y=64,2x-8y=86$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}4&8\\2&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\86\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}4&8\\2&-8\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&8\\2&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\86\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\86\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\86\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{4\left(-8\right)-8\times 2}&-\frac{8}{4\left(-8\right)-8\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-8\right)-8\times 2}&\frac{4}{4\left(-8\right)-8\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\86\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{24}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\86\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 64+\frac{1}{6}\times 86\\\frac{1}{24}\times 64-\frac{1}{12}\times 86\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\-\frac{9}{2}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=25,y=-\frac{9}{2}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$4x+8y=64,2x-8y=86$$

4x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына көбейтіңіз.

$$2\times 4x+2\times 8y=2\times 64,4\times 2x+4\left(-8\right)y=4\times 86$$

Қысқартыңыз.

$$8x+16y=128,8x-32y=344$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 8x-32y=344 мәнін 8x+16y=128 мәнінен алып тастаңыз.

$$8x-8x+16y+32y=128-344$$

8x санын -8x санына қосу. 8x және -8x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$16y+32y=128-344$$

16y санын 32y санына қосу.

$$48y=128-344$$

128 санын -344 санына қосу.

$$48y=-216$$

Екі жағын да 48 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{9}{2}$$

2x-8y=86 теңдеуінде -\frac{9}{2} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x-8\left(-\frac{9}{2}\right)=86$$

-8 санын -\frac{9}{2} санына көбейтіңіз.

$$2x+36=86$$

Теңдеудің екі жағынан 36 санын алып тастаңыз.

$$2x=50$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=25$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=25,y=-\frac{9}{2}$$