{l}{4x+5y=7}{3x-2y=9} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 7 } \\ { 3 x - 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{59}{23} = 2\frac{13}{23} \approx 2.565217391$$

$$y=-\frac{15}{23}\approx -0.652173913$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$4x+5y=7,3x-2y=9$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$4x+5y=7$$

Теңдеудің екі жағынан 5y санын алып тастаңыз.

$$4x=-5y+7$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+7\right)$$

\frac{1}{4} санын -5y+7 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}$$

Басқа теңдеуде \frac{-5y+7}{4} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x-2y=9.

$$3\left(-\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}\right)-2y=9$$

3 санын \frac{-5y+7}{4} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{15}{4}y+\frac{21}{4}-2y=9$$

-\frac{15y}{4} санын -2y санына қосу.

$$-\frac{23}{4}y+\frac{21}{4}=9$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{21}{4} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{23}{4}y=\frac{15}{4}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{23}{4} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{15}{23}$$

x=-\frac{5}{4}y+\frac{7}{4} теңдеуінде -\frac{15}{23} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{5}{4}\left(-\frac{15}{23}\right)+\frac{7}{4}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{15}{23} санын -\frac{5}{4} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{75}{92}+\frac{7}{4}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{7}{4} бөлшегіне \frac{75}{92} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{59}{23}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{59}{23},y=-\frac{15}{23}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$4x+5y=7,3x-2y=9$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-5\times 3}&-\frac{5}{4\left(-2\right)-5\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-2\right)-5\times 3}&\frac{4}{4\left(-2\right)-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}&\frac{5}{23}\\\frac{3}{23}&-\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}\times 7+\frac{5}{23}\times 9\\\frac{3}{23}\times 7-\frac{4}{23}\times 9\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{59}{23}\\-\frac{15}{23}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{59}{23},y=-\frac{15}{23}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$4x+5y=7,3x-2y=9$$

4x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына көбейтіңіз.

$$3\times 4x+3\times 5y=3\times 7,4\times 3x+4\left(-2\right)y=4\times 9$$

Қысқартыңыз.

$$12x+15y=21,12x-8y=36$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 12x-8y=36 мәнін 12x+15y=21 мәнінен алып тастаңыз.

$$12x-12x+15y+8y=21-36$$

12x санын -12x санына қосу. 12x және -12x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$15y+8y=21-36$$

15y санын 8y санына қосу.

$$23y=21-36$$

21 санын -36 санына қосу.

$$23y=-15$$

Екі жағын да 23 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{15}{23}$$

3x-2y=9 теңдеуінде -\frac{15}{23} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x-2\left(-\frac{15}{23}\right)=9$$

-2 санын -\frac{15}{23} санына көбейтіңіз.

$$3x+\frac{30}{23}=9$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{30}{23} санын алып тастаңыз.

$$3x=\frac{177}{23}$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{59}{23}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{59}{23},y=-\frac{15}{23}$$