{l}{4x+5y=3}{2x-3y=4} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 3 } \\ { 2 x - 3 y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{29}{22} = 1\frac{7}{22} \approx 1.318181818$$

$$y=-\frac{5}{11}\approx -0.454545455$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$4x+5y=3,2x-3y=4$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$4x+5y=3$$

Теңдеудің екі жағынан 5y санын алып тастаңыз.

$$4x=-5y+3$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+3\right)$$

\frac{1}{4} санын -5y+3 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{3}{4}$$

Басқа теңдеуде \frac{-5y+3}{4} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x-3y=4.

$$2\left(-\frac{5}{4}y+\frac{3}{4}\right)-3y=4$$

2 санын \frac{-5y+3}{4} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{3}{2}-3y=4$$

-\frac{5y}{2} санын -3y санына қосу.

$$-\frac{11}{2}y+\frac{3}{2}=4$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{3}{2} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{11}{2}y=\frac{5}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{11}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{5}{11}$$

x=-\frac{5}{4}y+\frac{3}{4} теңдеуінде -\frac{5}{11} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{5}{4}\left(-\frac{5}{11}\right)+\frac{3}{4}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{5}{11} санын -\frac{5}{4} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{25}{44}+\frac{3}{4}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{3}{4} бөлшегіне \frac{25}{44} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{29}{22}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{29}{22},y=-\frac{5}{11}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$4x+5y=3,2x-3y=4$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}4&5\\2&-3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4\left(-3\right)-5\times 2}&-\frac{5}{4\left(-3\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-3\right)-5\times 2}&\frac{4}{4\left(-3\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&\frac{5}{22}\\\frac{1}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 3+\frac{5}{22}\times 4\\\frac{1}{11}\times 3-\frac{2}{11}\times 4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{29}{22}\\-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{29}{22},y=-\frac{5}{11}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$4x+5y=3,2x-3y=4$$

4x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына көбейтіңіз.

$$2\times 4x+2\times 5y=2\times 3,4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\times 4$$

Қысқартыңыз.

$$8x+10y=6,8x-12y=16$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 8x-12y=16 мәнін 8x+10y=6 мәнінен алып тастаңыз.

$$8x-8x+10y+12y=6-16$$

8x санын -8x санына қосу. 8x және -8x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$10y+12y=6-16$$

10y санын 12y санына қосу.

$$22y=6-16$$

6 санын -16 санына қосу.

$$22y=-10$$

Екі жағын да 22 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{5}{11}$$

2x-3y=4 теңдеуінде -\frac{5}{11} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x-3\left(-\frac{5}{11}\right)=4$$

-3 санын -\frac{5}{11} санына көбейтіңіз.

$$2x+\frac{15}{11}=4$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{15}{11} санын алып тастаңыз.

$$2x=\frac{29}{11}$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{29}{22}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{29}{22},y=-\frac{5}{11}$$