{l}{4x+5y=1}{5x-7y=1} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 1 } \\ { 5 x - 7 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{12}{53}\approx 0.226415094$$

$$y=\frac{1}{53}\approx 0.018867925$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$4x+5y=1$$

Теңдеудің екі жағынан 5y санын алып тастаңыз.

$$4x=-5y+1$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+1\right)$$

\frac{1}{4} санын -5y+1 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4}$$

Басқа теңдеуде \frac{-5y+1}{4} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 5x-7y=1.

$$5\left(-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4}\right)-7y=1$$

5 санын \frac{-5y+1}{4} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{25}{4}y+\frac{5}{4}-7y=1$$

-\frac{25y}{4} санын -7y санына қосу.

$$-\frac{53}{4}y+\frac{5}{4}=1$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{5}{4} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{53}{4}y=-\frac{1}{4}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{53}{4} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{1}{53}$$

x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4} теңдеуінде \frac{1}{53} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{1}{53}+\frac{1}{4}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{1}{53} санын -\frac{5}{4} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{5}{212}+\frac{1}{4}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{1}{4} бөлшегіне -\frac{5}{212} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{12}{53}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{4\left(-7\right)-5\times 5}&-\frac{5}{4\left(-7\right)-5\times 5}\\-\frac{5}{4\left(-7\right)-5\times 5}&\frac{4}{4\left(-7\right)-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{53}&\frac{5}{53}\\\frac{5}{53}&-\frac{4}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7+5}{53}\\\frac{5-4}{53}\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{53}\\\frac{1}{53}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

4x және 5x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына көбейтіңіз.

$$5\times 4x+5\times 5y=5,4\times 5x+4\left(-7\right)y=4$$

Қысқартыңыз.

$$20x+25y=5,20x-28y=4$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 20x-28y=4 мәнін 20x+25y=5 мәнінен алып тастаңыз.

$$20x-20x+25y+28y=5-4$$

20x санын -20x санына қосу. 20x және -20x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$25y+28y=5-4$$

25y санын 28y санына қосу.

$$53y=5-4$$

5 санын -4 санына қосу.

$$53y=1$$

Екі жағын да 53 санына бөліңіз.

$$y=\frac{1}{53}$$

5x-7y=1 теңдеуінде \frac{1}{53} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$5x-7\times \frac{1}{53}=1$$

-7 санын \frac{1}{53} санына көбейтіңіз.

$$5x-\frac{7}{53}=1$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{7}{53} санын қосыңыз.

$$5x=\frac{60}{53}$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{12}{53}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$