{l}{4x+4y=280}{4x+1y=124} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 4 y = 280 } \\ { 4 x + 1 y = 124 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=18$$

$$y=52$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$4x+4y=280,4x+y=124$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$4x+4y=280$$

Теңдеудің екі жағынан 4y санын алып тастаңыз.

$$4x=-4y+280$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{4}\left(-4y+280\right)$$

\frac{1}{4} санын -4y+280 санына көбейтіңіз.

$$x=-y+70$$

Басқа теңдеуде -y+70 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 4x+y=124.

$$4\left(-y+70\right)+y=124$$

4 санын -y+70 санына көбейтіңіз.

$$-4y+280+y=124$$

-4y санын y санына қосу.

$$-3y+280=124$$

Теңдеудің екі жағынан 280 санын алып тастаңыз.

$$-3y=-156$$

Екі жағын да -3 санына бөліңіз.

$$y=52$$

x=-y+70 теңдеуінде 52 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-52+70$$

70 санын -52 санына қосу.

$$x=18$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=18,y=52$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$4x+4y=280,4x+y=124$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-4\times 4}&-\frac{4}{4-4\times 4}\\-\frac{4}{4-4\times 4}&\frac{4}{4-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\times 280+\frac{1}{3}\times 124\\\frac{1}{3}\times 280-\frac{1}{3}\times 124\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\52\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=18,y=52$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$4x+4y=280,4x+y=124$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 4x+y=124 мәнін 4x+4y=280 мәнінен алып тастаңыз.

$$4x-4x+4y-y=280-124$$

4x санын -4x санына қосу. 4x және -4x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$4y-y=280-124$$

4y санын -y санына қосу.

$$3y=280-124$$

280 санын -124 санына қосу.

$$3y=156$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$y=52$$

4x+y=124 теңдеуінде 52 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$4x+52=124$$

Теңдеудің екі жағынан 52 санын алып тастаңыз.

$$4x=72$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=18$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=18,y=52$$