{l}{4x+3y=3}{(2k+3)x+(2k+1)y=4(k-1)} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 3 } \\ { ( 2 k + 3 ) x + ( 2 k + 1 ) y = 4 ( k - 1 ) } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=-3\text{, }y=5\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{3-3y}{4}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&k=\frac{5}{2}\end{matrix}\right.$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$4x+3y=3,\left(2k+3\right)x+\left(2k+1\right)y=4k-4$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$4x+3y=3$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$4x=-3y+3$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+3\right)$$

\frac{1}{4} санын -3y+3 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{3}{4}$$

Басқа теңдеуде \frac{-3y+3}{4} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, \left(2k+3\right)x+\left(2k+1\right)y=4k-4.

$$\left(2k+3\right)\left(-\frac{3}{4}y+\frac{3}{4}\right)+\left(2k+1\right)y=4k-4$$

2k+3 санын \frac{-3y+3}{4} санына көбейтіңіз.

$$\left(-\frac{3k}{2}-\frac{9}{4}\right)y+\frac{3k}{2}+\frac{9}{4}+\left(2k+1\right)y=4k-4$$

-\frac{3yk}{2}-\frac{9y}{4} санын 2yk+y санына қосу.

$$\left(\frac{k}{2}-\frac{5}{4}\right)y+\frac{3k}{2}+\frac{9}{4}=4k-4$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{3k}{2}+\frac{9}{4} санын алып тастаңыз.

$$\left(\frac{k}{2}-\frac{5}{4}\right)y=\frac{5k}{2}-\frac{25}{4}$$

Екі жағын да \frac{k}{2}-\frac{5}{4} санына бөліңіз.

$$y=5$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{3}{4} теңдеуінде 5 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{4}\times 5+\frac{3}{4}$$

-\frac{3}{4} санын 5 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-15+3}{4}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{3}{4} бөлшегіне -\frac{15}{4} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-3,y=5$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$4x+3y=3,\left(2k+3\right)x+\left(2k+1\right)y=4k-4$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\2k+3&2k+1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4k-4\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}4&3\\2k+3&2k+1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2k+3&2k+1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\2k+3&2k+1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2k+3&2k+1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4k-4\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2k+3&2k+1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4k-4\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2k+3&2k+1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4k-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2k+1}{4\left(2k+1\right)-3\left(2k+3\right)}&-\frac{3}{4\left(2k+1\right)-3\left(2k+3\right)}\\-\frac{2k+3}{4\left(2k+1\right)-3\left(2k+3\right)}&\frac{4}{4\left(2k+1\right)-3\left(2k+3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4k-4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2k+1}{2k-5}&-\frac{3}{2k-5}\\-\frac{2k+3}{2k-5}&\frac{4}{2k-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4k-4\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2k+1}{2k-5}\times 3+\left(-\frac{3}{2k-5}\right)\left(4k-4\right)\\\left(-\frac{2k+3}{2k-5}\right)\times 3+\frac{4}{2k-5}\left(4k-4\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-3,y=5$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$4x+3y=3,\left(2k+3\right)x+\left(2k+1\right)y=4k-4$$

4x және \left(2k+3\right)x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2k+3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына көбейтіңіз.

$$\left(2k+3\right)\times 4x+\left(2k+3\right)\times 3y=\left(2k+3\right)\times 3,4\left(2k+3\right)x+4\left(2k+1\right)y=4\left(4k-4\right)$$

Қысқартыңыз.

$$\left(8k+12\right)x+\left(6k+9\right)y=6k+9,\left(8k+12\right)x+\left(8k+4\right)y=16k-16$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы \left(8k+12\right)x+\left(8k+4\right)y=16k-16 мәнін \left(8k+12\right)x+\left(6k+9\right)y=6k+9 мәнінен алып тастаңыз.

$$\left(8k+12\right)x+\left(-8k-12\right)x+\left(6k+9\right)y+\left(-8k-4\right)y=6k+9+16-16k$$

8xk+12x санын -12x-8xk санына қосу. 8xk+12x және -12x-8xk мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$\left(6k+9\right)y+\left(-8k-4\right)y=6k+9+16-16k$$

6yk+9y санын -4y-8yk санына қосу.

$$\left(5-2k\right)y=6k+9+16-16k$$

6k+9 санын 16-16k санына қосу.

$$\left(5-2k\right)y=25-10k$$

Екі жағын да -2k+5 санына бөліңіз.

$$y=5$$

\left(2k+3\right)x+\left(2k+1\right)y=4k-4 теңдеуінде 5 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$\left(2k+3\right)x+\left(2k+1\right)\times 5=4k-4$$

2k+1 санын 5 санына көбейтіңіз.

$$\left(2k+3\right)x+10k+5=4k-4$$

Теңдеудің екі жағынан 10k+5 санын алып тастаңыз.

$$\left(2k+3\right)x=-6k-9$$

Екі жағын да 2k+3 санына бөліңіз.

$$x=-3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-3,y=5$$

x, y мәнін табыңыз

$$\left\{\begin{matrix}\\x=-3\text{, }y=5\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{3-3y}{4}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&k=\frac{5}{2}\end{matrix}\right.$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$4x+3y=3,\left(2k+3\right)x+\left(2k+1\right)y=4k-4$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$4x+3y=3$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$4x=-3y+3$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+3\right)$$

\frac{1}{4} санын -3y+3 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{3}{4}$$

Басқа теңдеуде \frac{-3y+3}{4} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, \left(2k+3\right)x+\left(2k+1\right)y=4k-4.

$$\left(2k+3\right)\left(-\frac{3}{4}y+\frac{3}{4}\right)+\left(2k+1\right)y=4k-4$$

2k+3 санын \frac{-3y+3}{4} санына көбейтіңіз.

$$\left(-\frac{3k}{2}-\frac{9}{4}\right)y+\frac{3k}{2}+\frac{9}{4}+\left(2k+1\right)y=4k-4$$

-\frac{3yk}{2}-\frac{9y}{4} санын 2yk+y санына қосу.

$$\left(\frac{k}{2}-\frac{5}{4}\right)y+\frac{3k}{2}+\frac{9}{4}=4k-4$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{3k}{2}+\frac{9}{4} санын алып тастаңыз.

$$\left(\frac{k}{2}-\frac{5}{4}\right)y=\frac{5k}{2}-\frac{25}{4}$$

Екі жағын да \frac{k}{2}-\frac{5}{4} санына бөліңіз.

$$y=5$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{3}{4} теңдеуінде 5 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{4}\times 5+\frac{3}{4}$$

-\frac{3}{4} санын 5 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-15+3}{4}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{3}{4} бөлшегіне -\frac{15}{4} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-3,y=5$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$4x+3y=3,\left(2k+3\right)x+\left(2k+1\right)y=4k-4$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\2k+3&2k+1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4k-4\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}4&3\\2k+3&2k+1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2k+3&2k+1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\2k+3&2k+1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2k+3&2k+1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4k-4\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2k+3&2k+1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4k-4\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2k+3&2k+1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4k-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2k+1}{4\left(2k+1\right)-3\left(2k+3\right)}&-\frac{3}{4\left(2k+1\right)-3\left(2k+3\right)}\\-\frac{2k+3}{4\left(2k+1\right)-3\left(2k+3\right)}&\frac{4}{4\left(2k+1\right)-3\left(2k+3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4k-4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2k+1}{2k-5}&-\frac{3}{2k-5}\\-\frac{2k+3}{2k-5}&\frac{4}{2k-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4k-4\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2k+1}{2k-5}\times 3+\left(-\frac{3}{2k-5}\right)\left(4k-4\right)\\\left(-\frac{2k+3}{2k-5}\right)\times 3+\frac{4}{2k-5}\left(4k-4\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-3,y=5$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$4x+3y=3,\left(2k+3\right)x+\left(2k+1\right)y=4k-4$$

4x және \left(2k+3\right)x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2k+3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына көбейтіңіз.

$$\left(2k+3\right)\times 4x+\left(2k+3\right)\times 3y=\left(2k+3\right)\times 3,4\left(2k+3\right)x+4\left(2k+1\right)y=4\left(4k-4\right)$$

Қысқартыңыз.

$$\left(8k+12\right)x+\left(6k+9\right)y=6k+9,\left(8k+12\right)x+\left(8k+4\right)y=16k-16$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы \left(8k+12\right)x+\left(8k+4\right)y=16k-16 мәнін \left(8k+12\right)x+\left(6k+9\right)y=6k+9 мәнінен алып тастаңыз.

$$\left(8k+12\right)x+\left(-8k-12\right)x+\left(6k+9\right)y+\left(-8k-4\right)y=6k+9+16-16k$$

8xk+12x санын -12x-8xk санына қосу. 8xk+12x және -12x-8xk мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$\left(6k+9\right)y+\left(-8k-4\right)y=6k+9+16-16k$$

6yk+9y санын -4y-8yk санына қосу.

$$\left(5-2k\right)y=6k+9+16-16k$$

6k+9 санын 16-16k санына қосу.

$$\left(5-2k\right)y=25-10k$$

Екі жағын да -2k+5 санына бөліңіз.

$$y=5$$

\left(2k+3\right)x+\left(2k+1\right)y=4k-4 теңдеуінде 5 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$\left(2k+3\right)x+\left(2k+1\right)\times 5=4k-4$$

2k+1 санын 5 санына көбейтіңіз.

$$\left(2k+3\right)x+10k+5=4k-4$$

Теңдеудің екі жағынан 10k+5 санын алып тастаңыз.

$$\left(2k+3\right)x=-6k-9$$

Екі жағын да 2k+3 санына бөліңіз.

$$x=-3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-3,y=5$$