{l}{4x+2y=18}{-3x-6y=27} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 18 } \\ { - 3 x - 6 y = 27 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=9$$

$$y=-9$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$4x+2y=18,-3x-6y=27$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$4x+2y=18$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$4x=-2y+18$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+18\right)$$

\frac{1}{4} санын -2y+18 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{-y+9}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -3x-6y=27.

$$-3\left(-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}\right)-6y=27$$

-3 санын \frac{-y+9}{2} санына көбейтіңіз.

$$\frac{3}{2}y-\frac{27}{2}-6y=27$$

\frac{3y}{2} санын -6y санына қосу.

$$-\frac{9}{2}y-\frac{27}{2}=27$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{27}{2} санын қосыңыз.

$$-\frac{9}{2}y=\frac{81}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{9}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-9$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2} теңдеуінде -9 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-9\right)+\frac{9}{2}$$

-\frac{1}{2} санын -9 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{9+9}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{9}{2} бөлшегіне \frac{9}{2} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=9$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=9,y=-9$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$4x+2y=18,-3x-6y=27$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{4\left(-6\right)-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{4\left(-6\right)-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4\left(-6\right)-2\left(-3\right)}&\frac{4}{4\left(-6\right)-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{9}\\-\frac{1}{6}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 18+\frac{1}{9}\times 27\\-\frac{1}{6}\times 18-\frac{2}{9}\times 27\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-9\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=9,y=-9$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$4x+2y=18,-3x-6y=27$$

4x және -3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына көбейтіңіз.

$$-3\times 4x-3\times 2y=-3\times 18,4\left(-3\right)x+4\left(-6\right)y=4\times 27$$

Қысқартыңыз.

$$-12x-6y=-54,-12x-24y=108$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -12x-24y=108 мәнін -12x-6y=-54 мәнінен алып тастаңыз.

$$-12x+12x-6y+24y=-54-108$$

-12x санын 12x санына қосу. -12x және 12x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-6y+24y=-54-108$$

-6y санын 24y санына қосу.

$$18y=-54-108$$

-54 санын -108 санына қосу.

$$18y=-162$$

Екі жағын да 18 санына бөліңіз.

$$y=-9$$

-3x-6y=27 теңдеуінде -9 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-3x-6\left(-9\right)=27$$

-6 санын -9 санына көбейтіңіз.

$$-3x+54=27$$

Теңдеудің екі жағынан 54 санын алып тастаңыз.

$$-3x=-27$$

Екі жағын да -3 санына бөліңіз.

$$x=9$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=9,y=-9$$