{l}{4a_{1}+6d=3}{3a_{1}+21d=4} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 4 a _ { 1 } + 6 d = 3 } \\ { 3 a _ { 1 } + 21 d = 4 } \end{array} \right.$$

a_1, d мәнін табыңыз

$$a_{1}=\frac{13}{22}\approx 0.590909091$$

$$d=\frac{7}{66}\approx 0.106060606$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және a_{1} мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы a_{1} мәнін шешіңіз.

$$4a_{1}+6d=3$$

Теңдеудің екі жағынан 6d санын алып тастаңыз.

$$4a_{1}=-6d+3$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$a_{1}=\frac{1}{4}\left(-6d+3\right)$$

\frac{1}{4} санын -6d+3 санына көбейтіңіз.

$$a_{1}=-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}$$

Басқа теңдеуде -\frac{3d}{2}+\frac{3}{4} мәнін a_{1} мәнімен ауыстырыңыз, 3a_{1}+21d=4.

$$3\left(-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}\right)+21d=4$$

3 санын -\frac{3d}{2}+\frac{3}{4} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{9}{2}d+\frac{9}{4}+21d=4$$

-\frac{9d}{2} санын 21d санына қосу.

$$\frac{33}{2}d+\frac{9}{4}=4$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{9}{4} санын алып тастаңыз.

$$\frac{33}{2}d=\frac{7}{4}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{33}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$d=\frac{7}{66}$$

a_{1}=-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4} теңдеуінде \frac{7}{66} мәнін d мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, a_{1} мәнін тікелей таба аласыз.

$$a_{1}=-\frac{3}{2}\times \frac{7}{66}+\frac{3}{4}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{7}{66} санын -\frac{3}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$a_{1}=-\frac{7}{44}+\frac{3}{4}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{3}{4} бөлшегіне -\frac{7}{44} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$a_{1}=\frac{13}{22}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{4\times 21-6\times 3}&-\frac{6}{4\times 21-6\times 3}\\-\frac{3}{4\times 21-6\times 3}&\frac{4}{4\times 21-6\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{22}&-\frac{1}{11}\\-\frac{1}{22}&\frac{2}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{22}\times 3-\frac{1}{11}\times 4\\-\frac{1}{22}\times 3+\frac{2}{33}\times 4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{22}\\\frac{7}{66}\end{matrix}\right)$$

a_{1} және d матрица элементтерін шығарыңыз.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

4a_{1} және 3a_{1} мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына көбейтіңіз.

$$3\times 4a_{1}+3\times 6d=3\times 3,4\times 3a_{1}+4\times 21d=4\times 4$$

Қысқартыңыз.

$$12a_{1}+18d=9,12a_{1}+84d=16$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 12a_{1}+84d=16 мәнін 12a_{1}+18d=9 мәнінен алып тастаңыз.

$$12a_{1}-12a_{1}+18d-84d=9-16$$

12a_{1} санын -12a_{1} санына қосу. 12a_{1} және -12a_{1} мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$18d-84d=9-16$$

18d санын -84d санына қосу.

$$-66d=9-16$$

9 санын -16 санына қосу.

$$-66d=-7$$

Екі жағын да -66 санына бөліңіз.

$$d=\frac{7}{66}$$

3a_{1}+21d=4 теңдеуінде \frac{7}{66} мәнін d мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, a_{1} мәнін тікелей таба аласыз.

$$3a_{1}+21\times \frac{7}{66}=4$$

21 санын \frac{7}{66} санына көбейтіңіз.

$$3a_{1}+\frac{49}{22}=4$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{49}{22} санын алып тастаңыз.

$$3a_{1}=\frac{39}{22}$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$a_{1}=\frac{13}{22}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$