{l}{4a+5v=28}{6a+3v=24} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 4 a + 5 v = 28 } \\ { 6 a + 3 v = 24 } \end{array} \right.$$

a, v мәнін табыңыз

$$a=2$$

$$v=4$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$4a+5v=28,6a+3v=24$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және a мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы a мәнін шешіңіз.

$$4a+5v=28$$

Теңдеудің екі жағынан 5v санын алып тастаңыз.

$$4a=-5v+28$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$a=\frac{1}{4}\left(-5v+28\right)$$

\frac{1}{4} санын -5v+28 санына көбейтіңіз.

$$a=-\frac{5}{4}v+7$$

Басқа теңдеуде -\frac{5v}{4}+7 мәнін a мәнімен ауыстырыңыз, 6a+3v=24.

$$6\left(-\frac{5}{4}v+7\right)+3v=24$$

6 санын -\frac{5v}{4}+7 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{15}{2}v+42+3v=24$$

-\frac{15v}{2} санын 3v санына қосу.

$$-\frac{9}{2}v+42=24$$

Теңдеудің екі жағынан 42 санын алып тастаңыз.

$$-\frac{9}{2}v=-18$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{9}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$v=4$$

a=-\frac{5}{4}v+7 теңдеуінде 4 мәнін v мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, a мәнін тікелей таба аласыз.

$$a=-\frac{5}{4}\times 4+7$$

-\frac{5}{4} санын 4 санына көбейтіңіз.

$$a=-5+7$$

7 санын -5 санына қосу.

$$a=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$a=2,v=4$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$4a+5v=28,6a+3v=24$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}4&5\\6&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-5\times 6}&-\frac{5}{4\times 3-5\times 6}\\-\frac{6}{4\times 3-5\times 6}&\frac{4}{4\times 3-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{5}{18}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 28+\frac{5}{18}\times 24\\\frac{1}{3}\times 28-\frac{2}{9}\times 24\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}a\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

a және v матрица элементтерін шығарыңыз.

$$a=2,v=4$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$4a+5v=28,6a+3v=24$$

4a және 6a мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 6 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына көбейтіңіз.

$$6\times 4a+6\times 5v=6\times 28,4\times 6a+4\times 3v=4\times 24$$

Қысқартыңыз.

$$24a+30v=168,24a+12v=96$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 24a+12v=96 мәнін 24a+30v=168 мәнінен алып тастаңыз.

$$24a-24a+30v-12v=168-96$$

24a санын -24a санына қосу. 24a және -24a мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$30v-12v=168-96$$

30v санын -12v санына қосу.

$$18v=168-96$$

168 санын -96 санына қосу.

$$18v=72$$

Екі жағын да 18 санына бөліңіз.

$$v=4$$

6a+3v=24 теңдеуінде 4 мәнін v мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, a мәнін тікелей таба аласыз.

$$6a+3\times 4=24$$

3 санын 4 санына көбейтіңіз.

$$6a+12=24$$

Теңдеудің екі жағынан 12 санын алып тастаңыз.

$$6a=12$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$a=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$a=2,v=4$$