{l}{36x-5y=7}{6x+3y=8} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 36 x - 5 y = 7 } \\ { 6 x + 3 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{61}{138}\approx 0.442028986$$

$$y = \frac{41}{23} = 1\frac{18}{23} \approx 1.782608696$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$36x-5y=7,6x+3y=8$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$36x-5y=7$$

Теңдеудің екі жағына да 5y санын қосыңыз.

$$36x=5y+7$$

Екі жағын да 36 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{36}\left(5y+7\right)$$

\frac{1}{36} санын 5y+7 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{5}{36}y+\frac{7}{36}$$

Басқа теңдеуде \frac{5y+7}{36} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 6x+3y=8.

$$6\left(\frac{5}{36}y+\frac{7}{36}\right)+3y=8$$

6 санын \frac{5y+7}{36} санына көбейтіңіз.

$$\frac{5}{6}y+\frac{7}{6}+3y=8$$

\frac{5y}{6} санын 3y санына қосу.

$$\frac{23}{6}y+\frac{7}{6}=8$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{7}{6} санын алып тастаңыз.

$$\frac{23}{6}y=\frac{41}{6}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{23}{6} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{41}{23}$$

x=\frac{5}{36}y+\frac{7}{36} теңдеуінде \frac{41}{23} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{5}{36}\times \frac{41}{23}+\frac{7}{36}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{41}{23} санын \frac{5}{36} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{205}{828}+\frac{7}{36}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{7}{36} бөлшегіне \frac{205}{828} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{61}{138}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{61}{138},y=\frac{41}{23}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$36x-5y=7,6x+3y=8$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}&\frac{36}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{46}&\frac{5}{138}\\-\frac{1}{23}&\frac{6}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{46}\times 7+\frac{5}{138}\times 8\\-\frac{1}{23}\times 7+\frac{6}{23}\times 8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{61}{138}\\\frac{41}{23}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{61}{138},y=\frac{41}{23}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$36x-5y=7,6x+3y=8$$

36x және 6x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 6 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 36 санына көбейтіңіз.

$$6\times 36x+6\left(-5\right)y=6\times 7,36\times 6x+36\times 3y=36\times 8$$

Қысқартыңыз.

$$216x-30y=42,216x+108y=288$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 216x+108y=288 мәнін 216x-30y=42 мәнінен алып тастаңыз.

$$216x-216x-30y-108y=42-288$$

216x санын -216x санына қосу. 216x және -216x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-30y-108y=42-288$$

-30y санын -108y санына қосу.

$$-138y=42-288$$

42 санын -288 санына қосу.

$$-138y=-246$$

Екі жағын да -138 санына бөліңіз.

$$y=\frac{41}{23}$$

6x+3y=8 теңдеуінде \frac{41}{23} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$6x+3\times \frac{41}{23}=8$$

3 санын \frac{41}{23} санына көбейтіңіз.

$$6x+\frac{123}{23}=8$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{123}{23} санын алып тастаңыз.

$$6x=\frac{61}{23}$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$x=\frac{61}{138}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{61}{138},y=\frac{41}{23}$$