{l}{36x-11y=-19}{24x-17y=10} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 36 x - 11 y = - 19 } \\ { 24 x - 17 y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = -\frac{433}{348} = -1\frac{85}{348} \approx -1.244252874$$

$$y = -\frac{68}{29} = -2\frac{10}{29} \approx -2.344827586$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$36x-11y=-19,24x-17y=10$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$36x-11y=-19$$

Теңдеудің екі жағына да 11y санын қосыңыз.

$$36x=11y-19$$

Екі жағын да 36 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{36}\left(11y-19\right)$$

\frac{1}{36} санын 11y-19 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{11}{36}y-\frac{19}{36}$$

Басқа теңдеуде \frac{11y-19}{36} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 24x-17y=10.

$$24\left(\frac{11}{36}y-\frac{19}{36}\right)-17y=10$$

24 санын \frac{11y-19}{36} санына көбейтіңіз.

$$\frac{22}{3}y-\frac{38}{3}-17y=10$$

\frac{22y}{3} санын -17y санына қосу.

$$-\frac{29}{3}y-\frac{38}{3}=10$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{38}{3} санын қосыңыз.

$$-\frac{29}{3}y=\frac{68}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{29}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{68}{29}$$

x=\frac{11}{36}y-\frac{19}{36} теңдеуінде -\frac{68}{29} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{11}{36}\left(-\frac{68}{29}\right)-\frac{19}{36}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{68}{29} санын \frac{11}{36} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{187}{261}-\frac{19}{36}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{19}{36} бөлшегіне -\frac{187}{261} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{433}{348}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{433}{348},y=-\frac{68}{29}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$36x-11y=-19,24x-17y=10$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}36&-11\\24&-17\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-19\\10\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}36&-11\\24&-17\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}36&-11\\24&-17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36&-11\\24&-17\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-11\\24&-17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\10\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-11\\24&-17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\10\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-11\\24&-17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{17}{36\left(-17\right)-\left(-11\times 24\right)}&-\frac{-11}{36\left(-17\right)-\left(-11\times 24\right)}\\-\frac{24}{36\left(-17\right)-\left(-11\times 24\right)}&\frac{36}{36\left(-17\right)-\left(-11\times 24\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\10\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{348}&-\frac{11}{348}\\\frac{2}{29}&-\frac{3}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\10\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{348}\left(-19\right)-\frac{11}{348}\times 10\\\frac{2}{29}\left(-19\right)-\frac{3}{29}\times 10\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{433}{348}\\-\frac{68}{29}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{433}{348},y=-\frac{68}{29}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$36x-11y=-19,24x-17y=10$$

36x және 24x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 24 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 36 санына көбейтіңіз.

$$24\times 36x+24\left(-11\right)y=24\left(-19\right),36\times 24x+36\left(-17\right)y=36\times 10$$

Қысқартыңыз.

$$864x-264y=-456,864x-612y=360$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 864x-612y=360 мәнін 864x-264y=-456 мәнінен алып тастаңыз.

$$864x-864x-264y+612y=-456-360$$

864x санын -864x санына қосу. 864x және -864x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-264y+612y=-456-360$$

-264y санын 612y санына қосу.

$$348y=-456-360$$

-456 санын -360 санына қосу.

$$348y=-816$$

Екі жағын да 348 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{68}{29}$$

24x-17y=10 теңдеуінде -\frac{68}{29} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$24x-17\left(-\frac{68}{29}\right)=10$$

-17 санын -\frac{68}{29} санына көбейтіңіз.

$$24x+\frac{1156}{29}=10$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{1156}{29} санын алып тастаңыз.

$$24x=-\frac{866}{29}$$

Екі жағын да 24 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{433}{348}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{433}{348},y=-\frac{68}{29}$$