{l}{3y-6=x}{x-9=2y} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y - 6 = x } \\ { x - 9 = 2 y } \end{array} \right.$$

y, x мәнін табыңыз

$$x=39$$

$$y=15$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да x мәнін қысқартыңыз.

$$3y-6-x=0$$

Екі жағына 6 қосу. Кез келген сан мен нөлдің қосындысы сол санның өзіне тең болады.

$$3y-x=6$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2y мәнін қысқартыңыз.

$$x-9-2y=0$$

Екі жағына 9 қосу. Кез келген сан мен нөлдің қосындысы сол санның өзіне тең болады.

$$x-2y=9$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3y-x=6,-2y+x=9$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және y мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y мәнін шешіңіз.

$$3y-x=6$$

Теңдеудің екі жағына да x санын қосыңыз.

$$3y=x+6$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$y=\frac{1}{3}\left(x+6\right)$$

\frac{1}{3} санын x+6 санына көбейтіңіз.

$$y=\frac{1}{3}x+2$$

Басқа теңдеуде \frac{x}{3}+2 мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, -2y+x=9.

$$-2\left(\frac{1}{3}x+2\right)+x=9$$

-2 санын \frac{x}{3}+2 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{2}{3}x-4+x=9$$

-\frac{2x}{3} санын x санына қосу.

$$\frac{1}{3}x-4=9$$

Теңдеудің екі жағына да 4 санын қосыңыз.

$$\frac{1}{3}x=13$$

Екі жағын да 3 мәніне көбейтіңіз.

$$x=39$$

y=\frac{1}{3}x+2 теңдеуінде 39 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=\frac{1}{3}\times 39+2$$

\frac{1}{3} санын 39 санына көбейтіңіз.

$$y=13+2$$

2 санын 13 санына қосу.

$$y=15$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=15,x=39$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да x мәнін қысқартыңыз.

$$3y-6-x=0$$

Екі жағына 6 қосу. Кез келген сан мен нөлдің қосындысы сол санның өзіне тең болады.

$$3y-x=6$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2y мәнін қысқартыңыз.

$$x-9-2y=0$$

Екі жағына 9 қосу. Кез келген сан мен нөлдің қосындысы сол санның өзіне тең болады.

$$x-2y=9$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3y-x=6,-2y+x=9$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6+9\\2\times 6+3\times 9\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\39\end{matrix}\right)$$

y және x матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=15,x=39$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да x мәнін қысқартыңыз.

$$3y-6-x=0$$

Екі жағына 6 қосу. Кез келген сан мен нөлдің қосындысы сол санның өзіне тең болады.

$$3y-x=6$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2y мәнін қысқартыңыз.

$$x-9-2y=0$$

Екі жағына 9 қосу. Кез келген сан мен нөлдің қосындысы сол санның өзіне тең болады.

$$x-2y=9$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3y-x=6,-2y+x=9$$

3y және -2y мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$-2\times 3y-2\left(-1\right)x=-2\times 6,3\left(-2\right)y+3x=3\times 9$$

Қысқартыңыз.

$$-6y+2x=-12,-6y+3x=27$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -6y+3x=27 мәнін -6y+2x=-12 мәнінен алып тастаңыз.

$$-6y+6y+2x-3x=-12-27$$

-6y санын 6y санына қосу. -6y және 6y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$2x-3x=-12-27$$

2x санын -3x санына қосу.

$$-x=-12-27$$

-12 санын -27 санына қосу.

$$-x=-39$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$x=39$$

-2y+x=9 теңдеуінде 39 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$-2y+39=9$$

Теңдеудің екі жағынан 39 санын алып тастаңыз.

$$-2y=-30$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$y=15$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=15,x=39$$