{l}{3y+x=31}{2y+3x=44} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y + x = 31 } \\ { 2 y + 3 x = 44 } \end{array} \right.$$

y, x мәнін табыңыз

$$x=10$$

$$y=7$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және y мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y мәнін шешіңіз.

$$3y+x=31$$

Теңдеудің екі жағынан x санын алып тастаңыз.

$$3y=-x+31$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$y=\frac{1}{3}\left(-x+31\right)$$

\frac{1}{3} санын -x+31 санына көбейтіңіз.

$$y=-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-x+31}{3} мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, 2y+3x=44.

$$2\left(-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}\right)+3x=44$$

2 санын \frac{-x+31}{3} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{62}{3}+3x=44$$

-\frac{2x}{3} санын 3x санына қосу.

$$\frac{7}{3}x+\frac{62}{3}=44$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{62}{3} санын алып тастаңыз.

$$\frac{7}{3}x=\frac{70}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{7}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=10$$

y=-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3} теңдеуінде 10 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=-\frac{1}{3}\times 10+\frac{31}{3}$$

-\frac{1}{3} санын 10 санына көбейтіңіз.

$$y=\frac{-10+31}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{31}{3} бөлшегіне -\frac{10}{3} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$y=7$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=7,x=10$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

2\times 2 матрицасы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2}&-\frac{1}{3\times 3-2}\\-\frac{2}{3\times 3-2}&\frac{3}{3\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 31-\frac{1}{7}\times 44\\-\frac{2}{7}\times 31+\frac{3}{7}\times 44\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

y және x матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=7,x=10$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

3y және 2y мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$2\times 3y+2x=2\times 31,3\times 2y+3\times 3x=3\times 44$$

Қысқартыңыз.

$$6y+2x=62,6y+9x=132$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6y+9x=132 мәнін 6y+2x=62 мәнінен алып тастаңыз.

$$6y-6y+2x-9x=62-132$$

6y санын -6y санына қосу. 6y және -6y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$2x-9x=62-132$$

2x санын -9x санына қосу.

$$-7x=62-132$$

62 санын -132 санына қосу.

$$-7x=-70$$

Екі жағын да -7 санына бөліңіз.

$$x=10$$

2y+3x=44 теңдеуінде 10 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$2y+3\times 10=44$$

3 санын 10 санына көбейтіңіз.

$$2y+30=44$$

Теңдеудің екі жағынан 30 санын алып тастаңыз.

$$2y=14$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$y=7$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=7,x=10$$