{l}{3y+3x=24}{6y+3x=39} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y + 3 x = 24 } \\ { 6 y + 3 x = 39 } \end{array} \right.$$

y, x мәнін табыңыз

$$x=3$$

$$y=5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3y+3x=24,6y+3x=39$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және y мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y мәнін шешіңіз.

$$3y+3x=24$$

Теңдеудің екі жағынан 3x санын алып тастаңыз.

$$3y=-3x+24$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$y=\frac{1}{3}\left(-3x+24\right)$$

\frac{1}{3} санын -3x+24 санына көбейтіңіз.

$$y=-x+8$$

Басқа теңдеуде -x+8 мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, 6y+3x=39.

$$6\left(-x+8\right)+3x=39$$

6 санын -x+8 санына көбейтіңіз.

$$-6x+48+3x=39$$

-6x санын 3x санына қосу.

$$-3x+48=39$$

Теңдеудің екі жағынан 48 санын алып тастаңыз.

$$-3x=-9$$

Екі жағын да -3 санына бөліңіз.

$$x=3$$

y=-x+8 теңдеуінде 3 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=-3+8$$

8 санын -3 санына қосу.

$$y=5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=5,x=3$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3y+3x=24,6y+3x=39$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&3\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\39\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&3\\6&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&3\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\39\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\39\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\39\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-3\times 6}&-\frac{3}{3\times 3-3\times 6}\\-\frac{6}{3\times 3-3\times 6}&\frac{3}{3\times 3-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\39\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\39\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 24+\frac{1}{3}\times 39\\\frac{2}{3}\times 24-\frac{1}{3}\times 39\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

y және x матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=5,x=3$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3y+3x=24,6y+3x=39$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6y+3x=39 мәнін 3y+3x=24 мәнінен алып тастаңыз.

$$3y-6y+3x-3x=24-39$$

3x санын -3x санына қосу. 3x және -3x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$3y-6y=24-39$$

3y санын -6y санына қосу.

$$-3y=24-39$$

24 санын -39 санына қосу.

$$-3y=-15$$

Екі жағын да -3 санына бөліңіз.

$$y=5$$

6y+3x=39 теңдеуінде 5 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$6\times 5+3x=39$$

6 санын 5 санына көбейтіңіз.

$$30+3x=39$$

Теңдеудің екі жағынан 30 санын алып тастаңыз.

$$3x=9$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=5,x=3$$