{l}{3y+2x=75}{x+y=50} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y + 2 x = 75 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

y, x мәнін табыңыз

$$x=75$$

$$y=-25$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3y+2x=75,y+x=50$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және y мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y мәнін шешіңіз.

$$3y+2x=75$$

Теңдеудің екі жағынан 2x санын алып тастаңыз.

$$3y=-2x+75$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$y=\frac{1}{3}\left(-2x+75\right)$$

\frac{1}{3} санын -2x+75 санына көбейтіңіз.

$$y=-\frac{2}{3}x+25$$

Басқа теңдеуде -\frac{2x}{3}+25 мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, y+x=50.

$$-\frac{2}{3}x+25+x=50$$

-\frac{2x}{3} санын x санына қосу.

$$\frac{1}{3}x+25=50$$

Теңдеудің екі жағынан 25 санын алып тастаңыз.

$$\frac{1}{3}x=25$$

Екі жағын да 3 мәніне көбейтіңіз.

$$x=75$$

y=-\frac{2}{3}x+25 теңдеуінде 75 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=-\frac{2}{3}\times 75+25$$

-\frac{2}{3} санын 75 санына көбейтіңіз.

$$y=-50+25$$

25 санын -50 санына қосу.

$$y=-25$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=-25,x=75$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3y+2x=75,y+x=50$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2}&-\frac{2}{3-2}\\-\frac{1}{3-2}&\frac{3}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}75-2\times 50\\-75+3\times 50\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-25\\75\end{matrix}\right)$$

y және x матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=-25,x=75$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3y+2x=75,y+x=50$$

3y және y мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$3y+2x=75,3y+3x=3\times 50$$

Қысқартыңыз.

$$3y+2x=75,3y+3x=150$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 3y+3x=150 мәнін 3y+2x=75 мәнінен алып тастаңыз.

$$3y-3y+2x-3x=75-150$$

3y санын -3y санына қосу. 3y және -3y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$2x-3x=75-150$$

2x санын -3x санына қосу.

$$-x=75-150$$

75 санын -150 санына қосу.

$$-x=-75$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$x=75$$

y+x=50 теңдеуінде 75 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y+75=50$$

Теңдеудің екі жағынан 75 санын алып тастаңыз.

$$y=-25$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=-25,x=75$$