{l}{3x-y+2=0}{5x-2y+1=0} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - y + 2 = 0 } \\ { 5 x - 2 y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-3$$

$$y=-7$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x-y+2=0,5x-2y+1=0$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x-y+2=0$$

Теңдеудің екі жағынан 2 санын алып тастаңыз.

$$3x-y=-2$$

Теңдеудің екі жағына да y санын қосыңыз.

$$3x=y-2$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(y-2\right)$$

\frac{1}{3} санын y-2 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-2+y}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 5x-2y+1=0.

$$5\left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)-2y+1=0$$

5 санын \frac{-2+y}{3} санына көбейтіңіз.

$$\frac{5}{3}y-\frac{10}{3}-2y+1=0$$

\frac{5y}{3} санын -2y санына қосу.

$$-\frac{1}{3}y-\frac{10}{3}+1=0$$

-\frac{10}{3} санын 1 санына қосу.

$$-\frac{1}{3}y-\frac{7}{3}=0$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{7}{3} санын қосыңыз.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{7}{3}$$

Екі жағын да -3 мәніне көбейтіңіз.

$$y=-7$$

x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3} теңдеуінде -7 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7\right)-\frac{2}{3}$$

\frac{1}{3} санын -7 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-7-2}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{2}{3} бөлшегіне -\frac{7}{3} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-3,y=-7$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x-y+2=0,5x-2y+1=0$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\left(-2\right)-\left(-1\right)\\5\left(-2\right)-3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-7\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-3,y=-7$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x-y+2=0,5x-2y+1=0$$

3x және 5x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$5\times 3x+5\left(-1\right)y+5\times 2=0,3\times 5x+3\left(-2\right)y+3=0$$

Қысқартыңыз.

$$15x-5y+10=0,15x-6y+3=0$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 15x-6y+3=0 мәнін 15x-5y+10=0 мәнінен алып тастаңыз.

$$15x-15x-5y+6y+10-3=0$$

15x санын -15x санына қосу. 15x және -15x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-5y+6y+10-3=0$$

-5y санын 6y санына қосу.

$$y+10-3=0$$

10 санын -3 санына қосу.

$$y+7=0$$

Теңдеудің екі жағынан 7 санын алып тастаңыз.

$$y=-7$$

5x-2y+1=0 теңдеуінде -7 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$5x-2\left(-7\right)+1=0$$

-2 санын -7 санына көбейтіңіз.

$$5x+14+1=0$$

14 санын 1 санына қосу.

$$5x+15=0$$

Теңдеудің екі жағынан 15 санын алып тастаңыз.

$$5x=-15$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=-3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-3,y=-7$$