{l}{3x-7y=2}{-5x+2y=-13} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 7 y = 2 } \\ { - 5 x + 2 y = - 13 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=3$$

$$y=1$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x-7y=2,-5x+2y=-13$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x-7y=2$$

Теңдеудің екі жағына да 7y санын қосыңыз.

$$3x=7y+2$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(7y+2\right)$$

\frac{1}{3} санын 7y+2 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{7}{3}y+\frac{2}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{7y+2}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -5x+2y=-13.

$$-5\left(\frac{7}{3}y+\frac{2}{3}\right)+2y=-13$$

-5 санын \frac{7y+2}{3} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{35}{3}y-\frac{10}{3}+2y=-13$$

-\frac{35y}{3} санын 2y санына қосу.

$$-\frac{29}{3}y-\frac{10}{3}=-13$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{10}{3} санын қосыңыз.

$$-\frac{29}{3}y=-\frac{29}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{29}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=1$$

x=\frac{7}{3}y+\frac{2}{3} теңдеуінде 1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{7+2}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{2}{3} бөлшегіне \frac{7}{3} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=3,y=1$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x-7y=2,-5x+2y=-13$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&-7\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-13\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&-7\\-5&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-7\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-13\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-13\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-7\left(-5\right)\right)}&-\frac{-7}{3\times 2-\left(-7\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{3\times 2-\left(-7\left(-5\right)\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-7\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-13\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{29}&-\frac{7}{29}\\-\frac{5}{29}&-\frac{3}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-13\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{29}\times 2-\frac{7}{29}\left(-13\right)\\-\frac{5}{29}\times 2-\frac{3}{29}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=3,y=1$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x-7y=2,-5x+2y=-13$$

3x және -5x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$-5\times 3x-5\left(-7\right)y=-5\times 2,3\left(-5\right)x+3\times 2y=3\left(-13\right)$$

Қысқартыңыз.

$$-15x+35y=-10,-15x+6y=-39$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -15x+6y=-39 мәнін -15x+35y=-10 мәнінен алып тастаңыз.

$$-15x+15x+35y-6y=-10+39$$

-15x санын 15x санына қосу. -15x және 15x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$35y-6y=-10+39$$

35y санын -6y санына қосу.

$$29y=-10+39$$

-10 санын 39 санына қосу.

$$29y=29$$

Екі жағын да 29 санына бөліңіз.

$$y=1$$

-5x+2y=-13 теңдеуінде 1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-5x+2=-13$$

Теңдеудің екі жағынан 2 санын алып тастаңыз.

$$-5x=-15$$

Екі жағын да -5 санына бөліңіз.

$$x=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=3,y=1$$