{l}{3x-3y=2}{4x+7y=-3} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 3 y = 2 } \\ { 4 x + 7 y = - 3 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{5}{33}\approx 0.151515152$$

$$y=-\frac{17}{33}\approx -0.515151515$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x-3y=2,4x+7y=-3$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x-3y=2$$

Теңдеудің екі жағына да 3y санын қосыңыз.

$$3x=3y+2$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(3y+2\right)$$

\frac{1}{3} санын 3y+2 санына көбейтіңіз.

$$x=y+\frac{2}{3}$$

Басқа теңдеуде y+\frac{2}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 4x+7y=-3.

$$4\left(y+\frac{2}{3}\right)+7y=-3$$

4 санын y+\frac{2}{3} санына көбейтіңіз.

$$4y+\frac{8}{3}+7y=-3$$

4y санын 7y санына қосу.

$$11y+\frac{8}{3}=-3$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{8}{3} санын алып тастаңыз.

$$11y=-\frac{17}{3}$$

Екі жағын да 11 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{17}{33}$$

x=y+\frac{2}{3} теңдеуінде -\frac{17}{33} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{17}{33}+\frac{2}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{2}{3} бөлшегіне -\frac{17}{33} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{5}{33}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{5}{33},y=-\frac{17}{33}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x-3y=2,4x+7y=-3$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{3\times 7-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 7-\left(-3\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 7-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{33}&\frac{1}{11}\\-\frac{4}{33}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{33}\times 2+\frac{1}{11}\left(-3\right)\\-\frac{4}{33}\times 2+\frac{1}{11}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{33}\\-\frac{17}{33}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{5}{33},y=-\frac{17}{33}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x-3y=2,4x+7y=-3$$

3x және 4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$4\times 3x+4\left(-3\right)y=4\times 2,3\times 4x+3\times 7y=3\left(-3\right)$$

Қысқартыңыз.

$$12x-12y=8,12x+21y=-9$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 12x+21y=-9 мәнін 12x-12y=8 мәнінен алып тастаңыз.

$$12x-12x-12y-21y=8+9$$

12x санын -12x санына қосу. 12x және -12x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-12y-21y=8+9$$

-12y санын -21y санына қосу.

$$-33y=8+9$$

8 санын 9 санына қосу.

$$-33y=17$$

Екі жағын да -33 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{17}{33}$$

4x+7y=-3 теңдеуінде -\frac{17}{33} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$4x+7\left(-\frac{17}{33}\right)=-3$$

7 санын -\frac{17}{33} санына көбейтіңіз.

$$4x-\frac{119}{33}=-3$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{119}{33} санын қосыңыз.

$$4x=\frac{20}{33}$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{5}{33}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{5}{33},y=-\frac{17}{33}$$