{l}{3x-2y=5}{2x-3y=15} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 5 } \\ { 2 x - 3 y = 15 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-3$$

$$y=-7$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x-2y=5,2x-3y=15$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x-2y=5$$

Теңдеудің екі жағына да 2y санын қосыңыз.

$$3x=2y+5$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+5\right)$$

\frac{1}{3} санын 2y+5 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{2y+5}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x-3y=15.

$$2\left(\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}\right)-3y=15$$

2 санын \frac{2y+5}{3} санына көбейтіңіз.

$$\frac{4}{3}y+\frac{10}{3}-3y=15$$

\frac{4y}{3} санын -3y санына қосу.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}=15$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{10}{3} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{5}{3}y=\frac{35}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{5}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-7$$

x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3} теңдеуінде -7 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{2}{3}\left(-7\right)+\frac{5}{3}$$

\frac{2}{3} санын -7 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-14+5}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{5}{3} бөлшегіне -\frac{14}{3} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-3,y=-7$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x-2y=5,2x-3y=15$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\left(-3\right)-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 5-\frac{2}{5}\times 15\\\frac{2}{5}\times 5-\frac{3}{5}\times 15\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-7\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-3,y=-7$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x-2y=5,2x-3y=15$$

3x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 5,3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 15$$

Қысқартыңыз.

$$6x-4y=10,6x-9y=45$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6x-9y=45 мәнін 6x-4y=10 мәнінен алып тастаңыз.

$$6x-6x-4y+9y=10-45$$

6x санын -6x санына қосу. 6x және -6x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-4y+9y=10-45$$

-4y санын 9y санына қосу.

$$5y=10-45$$

10 санын -45 санына қосу.

$$5y=-35$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$y=-7$$

2x-3y=15 теңдеуінде -7 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x-3\left(-7\right)=15$$

-3 санын -7 санына көбейтіңіз.

$$2x+21=15$$

Теңдеудің екі жағынан 21 санын алып тастаңыз.

$$2x=-6$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=-3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-3,y=-7$$